Одномерное движение частицы в потенциальной яме бесконечной глубины

Основная цель: показать качественное различие характера движения микро- и макрочастиц; изучение качественной стороны решения уравнения Шредингера для простейшей задачи - движение в прямоугольной потенциальной яме.

Замечания по работе

Мы предлагаем знакомство с решением простейшей задачи - одномерным движением частицы в прямоугольной потенциальной яме. Задача проста, но большинство характерных особенностей движения микрочастиц на ней видны: дискретность энергетических уровней для связанных состояний, наличие квантовых чисел, определяющих характер движения, не равная нулю кинетическая энергия в основном состоянии, проникновение частиц в классически запрещенные области и т.п.

На экране поле графиков разбито на две области: "квантовая физика" и "классическая физика". По оси ординат отложены плотность вероятности нахождения частицы в зависимости от координаты P и энергия частицы Е. Положение подвижной стрелки задает энергию частицы Е. Если текущее значение Е разрешено законами физики, то строится график зависимости плотности вероятности P нахождения частицы от ее координаты.

Порядок работы:

Формулы, лежащие в основе демонстрации

Основу квантовой механики составляет утверждение, что состояние микрочастицы может быть описано определенной функцией координат Ψ(x), называемой волновой функцией. Вероятность dp того, что микрочастица будет обнаружена в объеме dV, равна dp=|Ψ|2dV. Для связанного состояния полная энергия частицы Е < 0. Рассмотрим одномерное движение в прямоугольной потенциальной яме: U(x)=0 при 0 < x < a, U(x)=U0 при x < 0, x > a. В области
0 < x < a уравнение Шредингера имеет вид

d2Ψ      2m
                                          ------  +  ----  E∙Ψ=0,                       (1)
dx2        ћ2

а в области вне ямы

d2Ψ     2m
                                           ----- + ---- (E-U0)∙Ψ=0                   (2)
dx2      ћ2
	  

При x = 0, x = a решения этих уравнений должны переходить друг в друга непрерывно с непрерывной производной, а при x = + ∞ решение уравнения (2) должно обращаться в нуль. Последнему требованию удовлетворяет функция

       1
            Ψ = c1exp( +k1∙x ),   k1 = ---sqrt( 2∙m∙(U0-E)               (3)
        ћ

( знаки + и - соответственно для областей x < 0 и x > a ). Внутри ямы решение (1) ищем в виде

       1
            Ψ = c2sin( +k∙x+d ),   k = ---sqrt( 2∙m∙E )                     (4)
       ћ

Условия непрерывности приводят к

       πn-k∙a          ћ∙k
                                        sin --------  =  ----------,   n=1, 2, 3,... .    (5)
                   2            sqrt(2mU0)

Корни уравнения (5) позволяют найти уровни энергии

       h2                              k∙a
                         Е = -------- Y2,         где  Y = ----- .                        (6)
2π2ma2                             2

Трансцендентное уравнение (5) относительно k решают численно. Определив один из корней этого уравнения k1, рассчитываем E1. Константа c1 может быть выражена через c2 (из равенства волновых функций при x = 0)

c1 = c2sin(d).

Из условия нормировки: интеграл по всему пространству квадрата |Ψ|2 равен единице

   +∞
                      ∫   |Ψ|2dx = 1
   -∞

- находится последняя константа c2.

Вероятность P обнаружить частицу в интервале x1 < x < x2 вычисляется интегрированием квадрата волновой функции |Ψ|2 от x1 до x2.

 x2
     P = ∫  |Ψ|2dx.
 x1

Для потенциальной ямы бесконечной глубины ( U0 = ∞ )

h2
                      Е =  ------ n2,     n=1, 2, 3,...
8ma2
                                     πn
             Ψ = sqrt (2/a)sin(---- x).
                                     a