Потери энергии заряженной частицей

Этот вывод не претендует на получение точной формулы, но показывает, от каких параметров и как зависят удельные потери энергии заряженных частиц.
 Рис.1
  Рис.1 Схема взаимодействия заряженной частицы и электрона
 

Рассмотрим тяжёлую нерелятивистскую заряженную частицу с зарядом ze и скоростью v, пролетающую вдоль оси x на расстоянии r от одного из атомных электронов рис. 1). Полагаем, что скорость частицы v много больше скорости электрона, и что электрон можно считать свободным (т.е. пренебрегаем энергией связи электрона в атоме). Параллельная составляющая силы F|| не окажет влияние на электрон, т.к. при подлете частицы к электрону F|| имеет один знак, а при удалении противоположный. Поперечная же компонента F, наоборот, все время имеет один и тот же знак, так что вклад от нее накапливается.

В момент наибольшего сближения частиц сила равна F = ze2/(4πε0r2). Если время взаимодействия взять приближённо равным Δt ≈ 2r/v, то переданный электрону импульс равен Δp ≈ FΔt = 2ze2/(4πε0rv), а переданная ему энергия

потеря энергии

Здесь me - масса электрона. Формула (1) позволяет оценить энергию, переданную одному электрону, имеющему прицельное расстояние r. На пути dx электроны с прицельными параметрами от r до r+dr , будут находиться в тонкостенном цилиндре, изображенном на рис.1. В объёме этого цилиндра dV, содержится число электронов dN = ne·dV, где ne - концентрация электронов. Так как dV = 2πr·dr·dx, то суммарная энергия dE, переданная этим электронам на пути dx частицей, даётся выражением

формула (2)

Интегрируя по r от rmin до rmax, получим величину удельных ионизационных потерь

формула (3)

При rmax → ∞ и rmin → 0 интеграл расходится. Реально величина rmax ограничена тем, что при больших r и малых энергиях частицы атомный электрон уже не может рассматриваться как свободный, так как энергия взаимодействия будет сравнима с потенциалом ионизации. Ограничение на нижний предел интегрирования rmin связано с тем, что электрону тяжёлой нерелятивистской заряженной частицей может быть передана максимальная энергия Te макс = 2mev2. Учет этих обстоятельств приводит к следующему выражению для логарифма

формула (4)

Здесь I - средняя энергия связи электронов в атоме, c - скорость света. Подстановка (4) в (3) дает формулу (1) основного текста лекции.