Введение. Энергия связи ядра. Массы и размеры ядер

Конспект лекции

Наши задачи: определить понятие энергии связи ядра, показать способы экспериментального и расчетного получения ее значения.

Ядерная физика - наука о строении, свойствах и превращениях атомных ядер.

Договоримся об обозначениях: AZX - ядро с числом протонов Z и массовым числом (общим числом протонов и нейтронов) A.

Годом рождения ядерной физики можно считать 1911, в котором Э.Резерфорд на основании опытов по рассеянию α-частиц сделал вывод о существовании в атоме ядра.

1919 - год открытия расщепления ядра под действием α-частиц и протона, как составной части ядра. В современной записи реакция выглядит как 4α + 14N → p + 17O. Из статьи Э.Резерфорда 1919 года: "На основе полученных результатов трудно удержаться от заключения, что длиннопробежные атомы, возникающие при столкновениях α-частиц с азотом, это не атомы азота, а, по-видимому, атомы водорода или атомы с массой 2. Если это действительно так, то мы должны сделать вывод, что атом азота распадается под действием громадных сил, развивающихся при близком столкновении с быстрой α-частицей, и что освобождающийся атом водорода образует составную часть ядра азота". Неудачной, правда, оказалась попытка составить ядро из протонов и электронов. Из статьи Э.Резерфорда 1923 года: "Хотя мы можем быть уверенными, что протоны и электроны - это предельные структурные единицы всех атомов, и с достаточной надежностью определяем в ядрах всех атомов число протонов и электронов...". Открытие и измерение спинов электрона, протона и ядер привело к непреодолимым противоречиям этой модели.

1932 - 17 февраля опубликована статья Чадвика об открытии нейтрона в реакции 4α + 9Be → 12C + сильно проникающее излучение. Чадвик сделал вывод, что это излучение состоит не из γ-квантов, а из нейтральных частиц с конечной массой покоя. Масса их оказалась чуть бо́льше массы протона.

1932 - советский физик Д. Иваненко и В. Гейзенберг предложили протон-нейтронную модель ядра.

1939 - немецкие радиохимики Ган и Штрассман обнаружили деление ядра под действием нейтронов. Испускание нейтронов при делении ядра урана навело на мысль о возможности осуществления цепной ядерной реакции.

1940 - советские физики Флеров и Петржак открыли спонтанное деление ядер урана (очень тонкий эксперимент, т.к. на 1 деление происходит 108 α-распадов).

1942 - в США запущен первый атомный реактор.

1946 - запущен реактор в СССР.

1954 - в СССР заработала первая атомная электростанция.

В настоящее время достижения ядерной физики используются в атомной энергетике, радиационных технологиях, в физике твердого тела, лучевой терапии.

Масштабы физических величин в ядерной физике

В ядерной физике изучаются явления, происходящие на очень малых расстояниях и при очень больших энергиях, приходящихся на частицу.

Характерные расстояния: верхний предел - это размер атома ~10-10 м; нижний предел - естественных ограничений нет. Достигнутый предел (минимальные измеримые длины) ~10-17 м. Наиболее характерной величиной является 10-15 м = 1 Ферми. Ядра имеют размер порядка нескольких Ферми, размеры протона и нейтрона ~1 Ферми.

Характерные времена. Радиус ядра ~5·10-15 м, скорость протонов и нейтронов ~107 м/с. Характерное ядерное время - время пролета τ ~ 5·10-15/107 ~ 10-22 с. Если время нахождение частицы в ядре t >> τ, говорят о существовании в течение времени t нового ядра, содержащего прежнее и частицу.

Характерные энергии: в атомной физике используют внесистемную единицу 1 электронвольт (эВ) 1эВ=1.6·10-19 Дж. Для ядерной физике она слишком мала, используют производные 1 кэВ = 103 эВ и 1 МэВ = 106 эВ. Энергии связи нуклонов порядка единиц МэВ, энергии возбуждения ядер ~ доли МэВ и единицы МэВ.

Характерные массы: массы протона и нейтрона ≈ 1 атомной единицы массы(а.е.м.) = 1/12 массы атома 12C = 1.66·10-27 кг. Масса электрона me = 9.1·10-31 кг, масса наиболее тяжелых ядер ~ 200 а.е.м.

Закон сохранения энергии

Сохраняется полная энергия, состоящая из энергии покоя, кинетической и потенциальной энергий: E = m0·c2 + T + U.

Пусть сталкиваются две частицы a и b и в результате взаимодействия получаются две другие c и d.

Реакция происходит в 3 стадии: сближение частиц a и b, собственно взаимодействие и разлет продуктов - частиц c и d. Полная энергия системы неизменна для любого момента времени. Приравняем энергию частиц задолго до столкновения, когда частицы a и b были далеко друг от друга, и их взаимодействием можно пренебречь, к энергии после столкновения, когда можно пренебречь взаимодействием частиц c и d. Тогда закон сохранения будет выглядеть так

Энергия связи. Энергия связи ядра

Ядро массой M разделим на части M1 и M1, затратив минимум энергии, т.е. не сообщая осколкам кинетической энергии. Затрату энергии на разделение обозначим через G. Тогда закон сохранения будет выглядеть так

Величину G называют энергией связи осколков M1 и M1 в ядре M. Если G > 0, ядро стабильно и самопроизвольно на осколки M1 и M1 не делится. Если G < 0, ядро может разделиться на эти части. Например, 232Th→228Th + 4He - α-распад. Масса ядра тория больше суммы масс ядер радия и гелия.
 
Рис.1 Удельная энергия связи
 

Если осколками являются протоны и нейтроны, и ядро содержит Z протонов и N нейтронов, величину GЯ

называют энергией связи ядра. В природе для всех ядер GЯ > 0. Зависимость энергии связи, приходящей на 1 нуклон (удельная энергия связи ε), от числа нуклонов в ядре (массового числа A) показана на рис.1. Для большинства ядер она примерно равна 8 МэВ. Постоянство этой величины говорит о насыщающемся характере ядерных сил. Слабое уменьшение ε для тяжелых ядер обусловлено кулоновским отталкиванием протонов. Значение ε характеризует величину ядерного (сильного) взаимодействия. Эту величину можно сравнить с энергиями гравитационного и кулоновского взаимодействия нуклонов в ядре. Энергия гравитационного взаимодействия

Здесь rср - среднее расстояние между нуклонами, G -гравитационная постоянная. Ядерное взаимодействие в 1037 раз интенсивней гравитационного. Кулоновская энергия двух протонов

примерно в 10 раз меньше ядерной.

Энергию связи можно подсчитать в модели жидкой капли. Если считать ядро каплей заряженной жидкости, в грубом приближении энергия связи пропорциональна числу нуклонов

Теперь надо учесть, что нуклоны на поверхности слабее связаны с остальными. Энергия поверхностного натяжения Wпов = σ·4πR2. Эту энергию надо вычесть. Учтем еще, что радиус ядра R пропорционален A1/3, и получим

Протоны отталкиваются друг от друга, это уменьшает энергию связи на величину Wкул ~ (1/4πε)q2/R. Эту энергию тоже надо вычесть

Чтобы формула правильно описывала экспериментальные данные, надо добавить еще два слагаемых, учитывающих, что минимальна энергия при равенстве числа протонов и нейтронов, и спаривание нуклонов

где

Константы α = 15.6 МэВ, β = 17.2 МэВ, γ = 0.72 МэВ, ε = 23.6 МэВ найдены по экспериментальным данным. Казалось бы, какой прок от модели, если константы надо искать по экспериментальным данным? Но константы можно найти по, скажем, 100 ядрам. Потом еще на сотне ядер проверить формулу, убедиться в ее правильности, и быть после этого уверенным для коротко живущих ядер в правильности расчетных значений.

Измерение масс ядер

Конечно, никто не разбирает ядра на нуклоны, чтобы узнать величину энергии связи. Измеряют массы ядер, а энергию связи вычисляют потом по формуле (2). Для измерения масс ядер и частиц есть несколько способов:

 
Рис.2 Схема масс-спектрометра
 

Начнем с масс-спектрометрии. Атомы анализируемого вещества ионизируют, ускоряют получившиеся ионы до известной энергии и пропускают между полюсами магнита (рис.2). Если частицы со скоростью v пускать перпендикулярно силовым линиям магнитного поля B, справедливы соотношения

Здесь q - заряд частицы, R - радиус кривизны траектории, U - ускоряющее напряжение. При одинаковой энергии ионы, отличающиеся по массе, будут иметь разные скорости и, следовательно, разные радиусы кривизны. Поэтому масса частицы может быть определена. На протяженном детекторе (например, фотопластинке) частицы разной массы дадут следы в разных точках. Либо в спектрометре фиксируют радиус кривизны и изменяют индукцию магнитного поля, определяя таким образом содержание частиц с разной массой в исследуемом пучке. Для точного определения массы ядра следует вычесть массу электронов и сделать поправку на энергию связи электронов.

Масс-спектрометр позволяет определять массы с очень высокой относительной точностью ΔМ/М = 10-8 - 10-7.

Использование баланса энергий в ядерной реакции рассмотрим на примере определения массы нейтрона. Нейтральная частица в магнитном поле не отклоняется, масс-спектрометр для измерения массы нейтрона не годится. Использована реакция

 
Рис.3 Сечение (p,n) реакции
 

Здесь Q - энергия реакции. Имеем mn - mp = MH - MHe - Q. Масса протона (заряженная частица) измерена с высокой точностью. Реакция эта эндотермическая и имеет порог: энергия протона должна превышать Tпор. Сечение при T > Tпор быстро нарастает (см. рис.3), это позволяет с высокой точностью определить пороговую энергию, а по ней и энергию реакции Q (см. лекцию). Остается определить разность масс ядер 3H и 3He. Ядро 3H нестабильно и в результате β-распада превращается в ядро 3He с выделением энергии Qβ

Qβ равна верхней границе β-спектра, которая определена с помощью магнитного спектрометра с высокой точностью.

В итоге найдено, что энергия покоя нейтрона mnc2 = (939.5731±0.0027) МэВ.
 
Рис.4 Схема магнитного анализа
 

Метод времени пролета предполагает отклонение частицы в магнитном поле и измерение ее скорости. На рис.4 1 и 2 - счетчики, включенные в схему совпадений. Скорость частицы v определяется пролетным расстоянием L и временем полета: v = L/tпр. В магнитном поле (3) отбираются частицы с определенным импульсом. Далее находим M = p/v.
 
Рис.5 Распределение событий по массам
 

Рассмотрим еще случай, когда надо определить массу релятивистской частицы с очень малым временем жизни. Например, при столкновении π- с протоном надо определить, π-мезоны образуются непосредственно в результате реакции или получаются при распаде промежуточного ρ0-мезона.

Теоретические оценки времени жизни ρ0-мезона дали ~10-23 с. Энергии и импульсы π-мезонов определены по следам в пузырьковой камере. Воспользуемся тем, что для частиц величина E2 - p2c2 = m2c4 = inv является инвариантом (не зависит от системы координат и времени). Составим такую величину по результатам измерения полных энергий E и импульсов p π-мезонов

Величина M12 найдена по большому количеству событий. Если ρ0-мезон не образуется, значения M12 будут непрерывными в некотором интервале. Если π-мезоны образуются в результате распада одной частицы, M12 - масса этой частицы. Распределение получилось подобное рис.5. Центр тяжести дает массу Mρc2 = 770 МэВ, а ширина распределения - время жизни τ ~10-24 с (из соотношения неопределенности ΔE·τ ≥ h/2π).

Измерение размеров ядер

Первую оценку размера ядер дал Э.Резерфорд. Поскольку он наблюдал α-частицы, рассеянные на углы, близкие к 180 градудусам, расстояние максимального сближения rмин можно оценить из закона сохранения энергии - кинетическая энергия α-частицы переходит в энергию кулоновского отталкивания

Энергия α-частиц 5.3 МэВ, для золота Z = 79, получается rмин ~ 10-14 м. В дальнейшем стало понятно, что у ядра нет четкой границы как, скажем, у биллиардного шара. Об этом говорит соотношение неопределенности для координаты и импульса Δp·Δx ≥ h/2π.

Методы измерения размеров ядра можно разделить на две группы электромагнитные и ядерные.

К первой группе относится метод анализа рассеяния быстрых электронов. Это наиболее точный, но зато и наиболее сложный в исполнении метод. Чтобы получить представление о распределении электрического заряда в ядре, длина волны де Бройля электронов λ = h/p должна быть соизмерима с размером ядра. Это имеет место для энергий электронов более 100 МэВ. Задача об упругом рассеянии электронов таких энергий может быть решена в рамках квантовой электродинамики. Угловое распределение рассеянных частиц отличается от резерфордовского, т.к. электроны релятивистские и имеют ненулевой спин. Последовательность решения выглядит так: задается форма распределения плотности электрического заряда ρ(r,α), где α - набор искомых параметров. Решая соответствующее уравнение, находят сечение рассеяния в виде

 
Рис.6 Распределение заряда в ядре
 

где |F(θ,α| - так называемый форм-фактор, зависящий от распределения заряда ρ(r) и, следовательно от набора параметров α. Далее параметры распределения подбирают так, чтобы расчетное угловое распределение совпало с полученным в эксперименте. Удачной оказалась попытка представить ρ(r) с двумя параметрами в виде (рис.6)

Величину R называют радиусом ядра (при r = R плотность заряда убывает вдвое). Параметр b определяет толщину поверхностного слоя. Систематические измерения распределений заряда для большого числа ядер проведены Р.Хофстадтером (Нобелевская премия 1961 г.) Р.Хофстадтер

1961
РУДОЛЬФ ХОФСТАДТЕР
for his pioneering studies of electron scattering in atomic nuclei and for his thereby achieved discoveries concerning the stucture of the nucleons

(за основополагающие исследования по рассеянию электронов на атомных ядрах и связанных с ними открытий)

 
Рис.7 Установка Р.Хофстадтера
 

На рисунке 7 показана установка, на которой проводился эксперимент. Измерены энергетические спектры рассеянных электронов. Для этого использован магнитный спектрометр, который можно устанавливать под разными углами (катается на рельсах) относительно первичного пучка.

В результате этих измерений найдено, что R = 1.2A1/310-15 м, b ≈ 0.55·10-15 м.
 
Рис.8 Энергии перехода 2P => 1S
 

К электромагнитным методам измерения заряда следует отнести определение радиуса R по излучению мезо-атомов - атомов, в которых один из электронов заменен на отрицательный мюон. Подробнее об этом в лекции "Экзотические атомы". Характерное удаление мюона от ядра вследствии его бо́льшей массы сравнимо с размером ядра, и неточечность ядра начинает оказывать сильное влияние на вид волновых функций мюона. Как следствие, изучение их энергетического спектра (иначе говоря, линий поглощения мюонного атома) позволяет "заглянуть" в ядро и исследовать его внутреннюю структуру. Это позволяет определить радиус ядра R при сравнении характеристик электромагнитного излучения реального μ-атома с характеристиками излучения гипотетического μ-атома, ядро которого точечное. На рисунке 8 приведена зависимость энергии перехода 2P => 1S (Kα - линия спектра) от заряда ядра. Штриховая линия соответствует точечному ядру, а сплошная - ядру конечных размеров. Обратите внимание на два обстоятельства: энергии квантов имеют порядок МэВ (в атоме водорода при таком переходе энергия кванта 10.2 эВ) и масштаб по оси ординат - логарифмический. Влияние конечного размера ядра на спектр μ-атома очень велико.

Определение размера ядра путем измерения сечения неупругого рассеяния нейтронов - ядерный метод. При кинетической энергии нейтронов, большей примерно 1 МэВ, основными процессами будут упругое и неупругое рассеяния σ = σупр + σнеупр, причем σнеупр = πRЯ2. Пусть на расстоянии L от источника S помещен детектор D (рис.9). Окружим источник сферой радиуса R и толщиной стенок d.
 
Рис.9 Схема опыта. 1-источник, 2-поглотитель, 3-детектор
 
Пусть Q - мощность изотропного источника нейтронов (число испускаемых нейтронов в единицу времени). В отсутствии поглотителя

.

Теперь установим сферический поглотитель. И пусть детектор регистрирует только упруго рассеянные нейтроны. Тогда его показания

где σ - полное сечение взаимодействия, N - концентрация ядер в поглотителе. Первое слагаемое в этом выражении - ток, ослабленный поглощением, а второе Js - ток упруго рассеянных в сферическом поглотителе в направлении детектора. Пусть L >> R. Тогда

Для реальных показаний детектора получаем

Эксперимент

Если наблюдается уменьшение показаний детектора, то оно обусловлено неупругим рассеянием. Из опыта по пропусканию со сферическим поглотителем можно определить сечение неупругого рассеяния σнеупр, а по нему и радиус ядра. Достаточно нескольких измерений с разными толщинами.

Вы можете самостоятельно провести опыт по измерению радиусов ядер на компьютерной модели.

Если возникли вопросы, напишите.