К.А.Дергобузов

Ядерные силы

Конспект лекции с демонстрациями

Наша задача: познакомить с основными свойствами ядерных сил, вытекающих из имеющихся экспериментальных данных.

Содержание

 

Начнем с перечисления известных свойств ядерных сил, чтобы потом перейти к их обоснованию:

  • Это силы притяжения.
  • Они короткодействующие.
  • Это силы большой величины (по сравнению с электромагнитными, слабыми и гравитационными).
  • Они обладают свойством насыщения.
  • Ядерные силы зависят от взаимной ориентации взаимодействующих нуклонов.
  • Не являются центральными.
  • Ядерные силы не зависят от заряда взаимодействующих частиц.
  • Зависят от взаимной ориентации спина и орбитального момента.
  • Ядерные силы носят обменный характер.
  • На малых расстояниях (r < 0.5·10-15 м) являются силами отталкивания.

 

Не приходится сомневаться в том, что ядерные силы - это силы притяжения. Иначе кулоновские силы отталкивания протонов сделали бы невозможным существование ядер.

Свойство насыщения ядерных сил следует из поведения зависимости удельной энергии связи от массового числа (см. лекцию).

Зависимость энергии связи, приходящейся на нуклон, от массового числа

Если бы нуклоны в ядре взаимодействовали со всеми другими нуклонами, энергия взаимодействия была пропорциональна числу сочетаний из A по 2, т.е. A(A-1)/2 ~ A2. Тогда энергия связи, приходящаяся на один нуклон, была пропорциональна A. На самом деле, как видно из рисунка, она примерно постоянна ~8 МэВ. Это и свидетельствует об ограниченном числе связи нуклона в ядре.

Свойства, следующие из изучения связанного состояния - дейтрона

Дейтрон 21H представляет собой единственное связанное состояние двух нуклонов - протона и нейтрона. Не существует связанных состояний протон - протон и нейтрон - нейтрон. Перечислим известные из опытов свойства дейтрона.

В первом приближении взаимодействие нуклонов в дейтроне можно описать прямоугольной потенциальной ямой

Далее следует найти решение уравнения Шредингера с этим потенциалом. В сферической системе координат (естественный выбор, т.к. потенциальная энергия зависит только от r), уравнение выглядит так

Здесь μ - приведенная масса, равная μ = mp·mn/(mp+mn).

Это уравнение можно упростить, введя функцию χ = r*Ψ(r). Получим

Решаем отдельно для областей r < a и r > a (учтем, что E < 0 для связанного состояния, которое ищем)

Коэффициент B надо положить равным нулю, иначе при r → 0 волновая функция Ψ = χ/r обращается в бесконечность; и коэффициент B1 = 0, иначе решение расходится при r → ∞.
   Рис.2 Волновая функция дейтрона  

Решения должны быть сшиты при r = a, т.е. приравнять значения функций и их первых производных. Это дает

   (1)
   Рис.1 Графическое решение уравнения (1)  

Подставляя в последнее уравнение значения k, k1 и полагая E = -Gd получим уравнение, связывающее энергию связи Gd, глубину ямы U0 и ее ширину a

Правая часть, учитывая малость энергии связи, - малое отрицательное число. Следовательно, аргумент котангенса близок к π/2 и слегка превышает его.

Если взять экспериментальное значение энергии связи дейтрона Gd = 2.23 МэВ, то для произведения a2·U0 получаем ~2.1·10-41 м2Дж (к сожалению, по отдельности значения U0 и a получить не удается). Задаваясь разумным a = 2·10-15 м (следует из опытов по рассеянию нейтронов, об этом дальше), для глубины потенциальной ямы получаем примерно 33 МэВ.

Умножим левую и правую часть уравнения (1) на a и введем вспомогательные переменные x = ka и y = k1a. Уравнение (1) приобретает вид

 

Кроме того

Из рис.1 видно, пересечение кривых x2 + y2 и y = - xctg(x) возможно только при x2 + y2 >(π/2)2. Это приводит к условию

и глубине ямы ~30 МэВ. Следующее пересечение при x2 + y2 >(3π/2)2, чему соответствует глубина ямы ~200 МэВ. Это значение противоречит экспериментальным данным, из чего заключаем, что возбужденных состояний у дейтрона нет.

На рис.2 показано решение уравнения Шредингера. Видно, что часть времени нуклоны проводят вне потенциальной ямы. Дейтрон "рыхлый", его радиус такой же, как у ядер с массовым числом A ~ 40.
   Рис.3 Сложение моментов  

Займемся спином. Спин дейтрона складывается из спинов нуклонов и орбитального момента

В принципе возможны три комбинации (рис.3). Но надо учесть четность состояния. Она является произведением внутренних четностей нуклонов и (-1)L

Для антипараллельной комбинации спинов (средняя на рис.3) L = 1 и четность отрицательна, что противоречит экспериментально установленной положительной четности дейтрона. То, что дейтрон существует лишь в состоянии с параллельными спинами, указывает на зависимость ядерных сил от спина.

Если бы состояние дейтрона было чисто s -состоянием (L = 0), магнитный момент дейтрона равнялся сумме магнитных моментов протона и нейтрона μ = μp + μn = 2.792847μя - 1.913043μя ≈ 0.88μя. Эта величина на 2.6% отличается от экспериментального значения (0.86μя). Это говорит о том, что небольшую часть времени (примерно 4%) дейтрон проводит в d - состоянии (L = 2). Небольшая примесь d - состояния объясняет наличие у дейтрона электрического квадрупольного момента и говорит о том, что ядерные силы не обладают сферической симметрией, являются нецентральными. Нецентральные силы, приводящие к Q ≠ 0, называют тензорными. Они зависят от угла между вектором r, соединяющим два нуклона и вектором их суммарного спина.
   Рис.4 Возможные расположения нуклонов в дейтроне  

Так как Qd > 0, дейтрону отвечает левая конфигурация (вытянутый эллипсоид). В правой, очевидно, возникают силы отталкивания. Пример тензорных сил - силы, действующие между двумя плоскими магнитами (попробуйте положить их рядом с одинаковым направлением полюсов).

Итак, используя экспериментальные данные по дейтрону, мы установили, что связанное состояние двух нуклонов можно описать глубокой прямоугольной ямой, ядерные силы зависят от взаимной ориентации спинов и являются нецентральными.

Свойства, следующие из изучения рассеяния нуклонов при малых энергиях

"Малыми" энергиями называем такие, при которых приведенная длина волны де Бройля налетающей частицы больше радиуса частицы-мишени . В лекции показано, что в этом случае взаимодействие осуществляется с орбитальным квантовым числом L = 0. Рассеяние нуклонов с L = 0 называют s-рассеянием. Удобно рассматривать рассеяние частицы с приведенной массой в системе центра инерции (СЦИ). Далее θ - угол рассеяния в СЦИ.

Волновую функцию, описывающую рассеяние, представляют в виде

где первое слагаемое - падающая волна, а второе - рассеянная. f(θ) - амплитуда рассеяния. Ее удобно разложить в ряд по полиномам Лежандра

P0(cosθ) = 1, т.е. при s-рассеянии угловое распределение рассеянных частиц изотропно.
   Рис.5 Сечение рассеяния нейтронов на протонах  

Наблюдают рассеяние нейтронов на мишени из водорода. Рассеянные нейтроны детектируют по протонам отдачи. Если угловое распределение рассеянных нейтронов изотропно в СЦИ, приведенная длина волны нейтрона больше радиуса действия ядерных сил. Изучают зависимость углового распределения от начальной энергии нейтронов. При энергиях Tn > 15 МэВ изотропность начинает нарушаться, из этого следует, что радиус действия ядерных сил a ~ 1.2·10-15 м.

Кроме углового распределения можно измерить зависимость полного числа рассеянных нейтронов от энергии падающих и получить полное сечение рассеяния. Решение задачи о рассеянии (E > 0) с потенциалом, аналогичным использованному в задаче о дейтроне (параллельные спины нейтрона и протона), дает

Но величины сечения, рассчитанные по этой формуле, в несколько раз меньше экспериментальных, изображенных на рис.5. Дело в том, что надо еще учесть и возможность рассеяния с антипараллельными спинами. Получаем

Коэффициенты: со спином 0 одно состояние, со спином 1 - три, всего 4. Каждое сечение берется с весом, пропорциональным вероятности находиться в этом состоянии. Очевидно, при малых энергиях определяющим является рассеяние с параллельными спинами.

Если представить σ↑↓ в виде, аналогичном σ↑↑

то получим хорошее согласие полного сечения с экспериментом при Es = 0.07 МэВ. Дополнительными опытами (на молекулярном водороде) показано, что связанного состояния ↑↓ не образуется. Говорят, система имеет "виртуальный уровень" с энергией Es.

Потенциал, следовательно, должен быть усложнен функциями, зависящими от спинов протона, нейтрона и ориентации спинов относительно оси, их соединяющей (тензорный характер).

Вычисления с таким потенциалом объясняют все особенности взаимодействия протона и нейтрона при низких энергиях.

Свойства, следующие из изучения рассеяния нуклонов при высоких энергиях (T > 100 МэВ)

  1. Длина волны де Бройля меньше радиуса действия ядерных сил, можно получить детали распределения потенциала взаимодействия протона и нейтрона.
  2. Возможны взаимодействия с моментом количества движения, не равным нулю (орбитальное квантовое число L = 1, 2, 3...). Это приводит к анизотропии в угловом распределении (в СЦИ).
  3. Если потенциал U(r) - прямоугольная яма, то с увеличением энергии T угол рассеяния θ должен убывать, как 1/√T. Грубые рассуждения:
       Рис.6 Отталкивающая сердцевина потенциала  

    Например, T = 400 МэВ, U = 25 МэВ, θ ~ 15°.
       Рис.7 Угловое распределение рассеянных нейтронов при T=315 МэВ  

    Эксперимент дает: сечение сначала падает с ростом T, появляется анизотропия, но потом до T ~ 400 МэВ постоянно и почти изотропно. Объяснить это можно наличием отталкивающей сердцевины: при r ≤ (0.3÷0.4)10-15 м преобладает интенсивное отталкивание (высота потенциала ~ 200 МэВ). Если T > 400 МэВ, снова появляется анизотропия, т.к. длина волны станет меньше характерного размера сердцевины.


  4. И еще одна неожиданность: при рассеянии нейтронов с энергией несколько сот МэВ на протонах угловое распределение (в СЦИ) не вытянуто вперед, а примерно симметрично относительно θ = 90° (см. рис.7 справа). Объяснение - влияние обменных сил, под действием которых протон и нейтрон при взаимодействии могут обмениваться своими характеристиками: зарядами, проекциями спинов... Это свойство используется для получения потока нейтронов из ускоренных протонов. Обменные силы имеют существенно квантовый характер.
  5. Наличие спин-орбитального взаимодействия (взаимодействия, зависящего от взаимной ориентации спина и орбитального момента) приводит к поляризации пучка частиц при рассеянии. Нуклон взаимодействует сильнее, если его спин и орбитальный момент направлены в одну сторону. Это обнаружено в опытах по рассеянию поляризованных пучков протонов на бесспиновых ядрах-мишенях (например, 4He, 12C).
       Рис.8 Поляризация при рассеянии  

    На рисунке протоны имеют спины, направленные к нам. Для случая 1 орбитальный момент направлен от нас, для случая 2 - к нам. Оказывается, налево (направления спина и орбитального момента совпадают) и направо (направления спина и орбитального момента противоположны) рассеивается разное число частиц, что доказывает наличие спин-орбитального взаимодействия. К потенциалу U(r) следует добавить еще одно слагаемое

К этим четырем слагаемым надо добавить еще четыре таких же, на которые действует оператор обмена.
   Рис.9 Схемы энергетических уровней 7Li и 7Be  

Зарядовая независимость ядерных сил. Изотопический спин

Протон и нейтрон имеют близкие массы, одинаковый спин. Но протон электрически заряжен, и в атомной физике разница между этими частицами колоссальная: добавление одного протона меняет химические свойства атома, добавление нейтрона - только получение другого изотопа того же химического элемента. В ядрах электромагнитное взаимодействие не является главным, а протон и нейтрон тождественны по отношению к сильному взаимодействию. Одним из доказательств этого является сходство свойств зеркальных ядер. Зеркальными называют ядра, которые получаются при замене протонов на нейтроны и наоборот. Например, 511B и 611C. На рис.9 приведены схемы энергетических уровней пары зеркальных ядер. (Уровни сдвинуты на величину кулоновского взаимодействия, т.к. заряд ядра углерода больше). Обратите внимание, что спины и четности состояний совпадают.

Зарядовая независимость ядерных сил подтверждена многочисленными опытами по протон-протонному и нейтрон-протонному рассеянию. Оказалось, что сечения рассеяния этих пар одинаковы (за вычетом вклада кулоновского взаимодействия пары протон-протон).

Взаимодействие между парами np, pp и nn одинаково. Это позволило ввести сохраняющуюся в ядерных взаимодействиях величину - изотопический спин. Он характеризует состояние частицы в условном трехмерном пространстве, называемом изотопическим. Протон и нейтрон - это два состояния одной частицы (нуклона), которой приписывают значение изотопического спина, равное τ = 1/2. Протон - это состояние частицы с проекцией на ось в изотопическом пространстве, равной +1/2, нейтрон - 1/2. Протон переходит в нейтрон при повороте в изотопическом пространстве на 180°. У π-мезона изотопический спин равен τ = 1, и трем проекциям -1, 0 и +1 соответствуют три частицы π-, π0 и π+ -мезоны. При использовании изотопического спина зарядовая независимость ядерных сил принимает форму закона сохранения: при ядерном взаимодействии полный изотопический спин и его проекция на ось сохраняются. Применение закона позволяет ограничить число возможных исходов ядерных превращений.

Мезонная теория ядерных сил

На основании перечисленных выше экспериментальных данных были попытки создать теорию ядерных сил. Тут два направления. В первом - феноменологическом - без выяснения природы ядерных сил подбирается потенциал взаимодействия, обеспечивающий наилучшее описание имеющихся экспериментальных данных. Но, как мы видели, каждое изменение диапазона исследованных энергий частиц приводило к необходимости вводить новые поправки к потенциалу. Нет уверенности, что имеющийся вид потенциала правильно "угадан".

Во втором подходе предполагается, что ядерные силы возникают при обмене частицами. Передача взаимодействия между частицами происходит как процесс испускания и поглощения квантов некоторого поля. (В случае электромагнитного поля, заряженная частица испускает фотон, который поглощается другой частицей или ей самой. Совокупность процессов поглощения и испускания фотонов и образует электромагнитное поле.) Впервые высказал мысль об обменном характере ядерных сил В.Гейзенберг в 1932 году. В 1934 году Д.Д. Иваненко и И.Е. Тамм предложили первую полевую теорию ядерных сил. Их гипотеза состояла в том, что ядерное взаимодействие осуществляется полем, квантами которого выступают пары электрон-нейтрино. Однако сам И.Е. Тамм убедился, что эти силы слишком слабы, а радиус действия слишком велик.

В 1935 году японский физик Х. Юкава предложил свою теорию ядерных сил. Он использовал симметрию между нейтроном и протоном и идею о взаимопревращениях протона и нейтрона в ядре. Квантовый процесс уничтожения нейтрона и рождения протона в ядре приводил, согласно теории Юкавы, к рождению квантов поля сильного взаимодействия - новых частиц. Взаимодействие этих квантов с нуклонами должно быть очень сильным. Велика вероятность их рождения. Столь же велика и вероятность их поглощения другим нуклоном ядра. Если один нуклон в квантовом переходе породил такой квант, а другой нуклон поглотил этот квант, то тем самым осуществилось взаимодействие между нуклонами в ядре.

Массу квантов сильного взаимодействия Юкава оценил, используя соотношение неопределенности энергия-время

где τ - характерное ядерное время, a = с·τ - радиус действия ядерных сил, максимальное расстояние, на которое может удалиться частица. Подставив a = 2·10-15 м, Юкава предсказал существование частиц с массой, примерно равной 200 масс электрона. Начались интенсивные поиски таких частиц, названных мезонами (от слова промежуточные, me < m < Mp). Ускорителей на большие энергии тогда не было, искали в космических лучах. В 1937 году заряженная частица с массой приблизительно равной массе, предсказывавшейся для мезона в теории Юкавы, была найдена (Андерсон и Неддемейер). Измерялось число частиц, прошедших поглотитель определенной толщины, в зависимости от ее величины. Типичная кривая показана на рис.10. Опыт показал, что существуют две различные компоненты космических лучей. Одна поглощается быстро (мягкая компонента), это электроны и гамма-излучение. Другая (жесткая компонента) проникает и через метровый свинец. Эксперименты с камерой Вильсона в магнитном поле позволили определить массу μ- мезона (так названа частица), mμ = 207me.
   Рис.10 Кривая поглощения космических лучей  

Но это была не та частица! Она слабо взаимодействует с ядрами; нет нейтральной частицы, объясняющей взаимодействие p-p, n-n; спин равен 1/2, что противоречит закону сохранения момента импульса в превращениях нуклонов. Сейчас эти частицы носят название мюон. Внимание к теории Юкавы было ослаблено.

Наконец в 1947 году Пауэлл с сотрудниками открыли в космических лучах новую частицу с массой примерно равной 270 масс электрона. Этих нестабильных частиц с нулевым спином три, и они получили название π-мезоны:

Этим было доказано существование частицы со свойствами, предсказанными Юкавой. При (n, p)-взаимодействиях нуклоны обмениваются π±-мезонами, при (p, p) и (n, n)-взаимодействиях - π0-мезонами. На диаграммах это выглядит так

Для нуклона потенциал, создаваемый облаком испускаемых нуклоном мезонов, носит название потенциал Юкавы и имеет вид

где gN - ядерный заряд, a - радиус действия ядерных сил. Этот вид потенциала получен решением уравнения Юкавы

В настоящее время известны и другие кванты ядерного поля. π-мезон - самый легкий из мезонов. Вплоть до энергии 500 МэВ пион-нуклонное взаимодействие осуществляется в отсутствие влияния других квантов поля.

Не часто случается, чтобы теоретик предсказал существование новой частицы, указал ее основные характеристики: массу, спин, четность, количество различных модификаций, их заряды, существование реакций рождения этих частиц при столкновении нуклонов. В 1949 году Х. Юкаве была вручена Нобелевская премия за предсказание существования мезонов в теоретической работе по ядерным силам.

1949

Hideki Yukawa for his prediction of the existence of mesons on the basis of theoretical work on nuclear forces.

 

С современных позиций протон и нейтрон суть связанные состояния трех кварков, а ядерное взаимодействие представляет собой обмен глюонами, а не мезонами — и именно это взаимодействие удерживает кварки внутри протона и нейтрона.




Литература:

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.