Свойства ядер: спин, магнитный момент и другие

Конспект лекции

Аннотация: знакомство со свойствами атомных ядер. Традиционное изложение темы.

Содержание

 
Рис.1. Момент импульса.
Рис.2. Проекции момента импульса.

О спинах и магнитных моментах атомов речь шла в лекции Механический и магнитный моменты атома. Атом в магнитном поле. Вспомним: движущаяся частица с импульсом p обладает относительно точки О моментом количества движения (или моментом импульса)

.

Для микрочастиц (квантовая механика) момент количества движения квантован. Для движения, изображенного на рис.1,

где J = 0, 1, ... в данном случае орбитальное квантовое число. Квантовано и направление: проекция вектора J на ось z равна Jz = ħ·m (см. рисунок 2).

Кроме возможного участия в орбитальном движении протон и нейтрон имеют собственный момент импульса - спин. Спин нуклона (как и всякий квантово-механический момент) квантован. Формула та же

где s = 1/2 - спиновое квантовое число. Физики говорят просто, например, спин протона равен 1/2. Проекция спина Sz = ħ·ms. Квантовое число проекции спина имеет только два значения ms = ±1/2. Т.е. возможны две ориентации спина нуклона относительно заданного направления (например, направления силовых линий магнитного поля).

Покоящееся ядро обладает механическим моментом за счет

Напомним правило сложения моментов

Если частица участвует в нескольких движениях, моменты импульсов складываются. Пусть

m1+m2

Тогда квантовое число суммарного момента может принимать значения (их несколько!) от суммы квантовых чисел слагаемых до модуля разности

m1+m2

Это и есть нужное правило. Для нуклона в ядре полный момент импульса J складывается из орбитального и спинового моментов, и по этому правилу квантовое число полного момента имеет два значения:

J=L+S

Суммируя моменты количества нуклонов в ядре, получаем спин ядра (название спин, т.к. движение нуклонов в ядре - это внутреннее движение для ядра).

Посмотрим, чему равны спины самых легких ядер

Видно, что спины ядер не получаются простым арифметическим суммированием спинов нуклонов. Если, например, протонов два, то их спины направлены противоположно, и вклад в суммарный спин равен нулю.

Закономерности, выявленные для спинов ядер

Магнитные моменты ядер

Орбитальное движение протона в ядре, как и движение электрона в атоме, создает магнитный момент

Только теперь e > 0, и в знаменателе стоит масса протона mp. Нейтрон - частица нейтральная, и при движении никаких токов не создает.

Естественной единицей измерения ядерных магнитных моментов является ядерный магнетон μя

Он в 1836 раз меньше магнетона Бора. Магнитные моменты ядер на несколько порядков меньше таковых для атомных оболочек.

У протонов и нейтронов есть и собственные магнитные моменты, пропорциональные механическим спиновым. Их можно записать в виде

где множитель gs называют гиромагнитным отношением. По результатам измерений для протона gs(p) = 5.58, для нейтрона gs(n) = -3.85. Последнее значение в свое время вызвало немалое удивление: как это нейтральная частица имеет неравный нулю магнитный момент? Отрицательный знак момента говорит о том, что отрицательный заряд движется вокруг положительного. (Открытие кварков дало объяснение этому явлению).

Итак, магнитный момент ядра складывается из орбитальных магнитных моментов протонов и спиновых моментов протонов и нейтронов.

Энергия взаимодействия U ядра, имеющего магнитный момент μ, и внешнего магнитного поля с индукцией B равна

Заметим, что она зависит от взаимной ориентации магнитного момента и вектора индукции.

Определение спинов и магнитных моментов ядер путем исследования сверхтонкой структуры атомных спектров

Тонкая структура, напомним, обусловлена взаимодействием магнитного момента электрона с магнитным полем, создаваемым орбитальным движением электронов в атоме.

Сверхтонкая структура вызвана магнитным моментом ядра и тем же магнитным полем электронов

В зависимости от ориентации спина ядра (а, следовательно, и магнитного момента) скалярное произведение принимает разные значения: энергетический уровень расщепляется, каждому подуровню соответствует своя частота излучения.

Полный механический момент атома F складывается из момента электронной оболочки I и спина ядра J

Механический момент электронной оболочки в свою очередь равен сумме орбитального L и спинового S моментов

Индукция магнитного поля Bэл, создаваемая электронной оболочкой, пропорциональна механическому моменту этой оболочки I: Bэл ~ I, а магнитный момент ядра μ пропорционален спину ядра J: μ ~ J. Получаем, что энергия в (2) будет пропорциональна скалярному произведению механических моментов ядра и электронной оболочки

Для получения этого скалярного произведения возведем (3) в квадрат и, опуская справа и слева множитель ħ2, получим

где квантовое число полного момента может принимать значения

Столько же значений будет и у скалярного произведения (I·J) и у энергии Uяд: уровни с различными F будут обладать, вообще говоря, разной энергией.

Число этих уровней равно 2I + 1 при I ≤ J и 2J + 1 при J ≤ I. Во втором случае подсчет числа линий в спектре расщепления позволяет непосредственно определить спин, а затем и магнитный момент ядра. А в первом случае приходится анализировать отношения интервалов между линиями.
Рис.3. Метод Раби

Ввиду малости магнитных моментов ядер, сверхтонкое расщепление имеет порядок 10-7 эВ, Δλ ~ 10-3 нм (отсюда и название сверхтонкое).

Измерение магнитных моментов ядер методом магнитного резонанса

В качестве примера рассмотрим измерение магнитного момента нейтрона (метод Раби). Принципиальная схема метода изображена на рисунке 3. Пучок нейтронов пропускается через два намагниченных до насыщения ферромагнетика 1 и 3. Поля в них неоднородные, и градиенты поля направлены в противоположных направлениях. Однородное магнитное поле не влияет на движение нейтральной частицы. В неоднородном поле траектория нейтрона, обладающего магнитным моментом, искривляется по градиенту или против в зависимости от ориентации магнитного момента. Первый ферромагнетик искривляет траектории нейтронов, а второй фокусирует их на детектор, заполненный газом BF3. В промежутке между ферромагнетиками установлен магнит 2 с сильным однородным полем. Там же находится катушка К, создающая слабое высокочастотное поле. В однородном магнитном поле B у нейтрона появляется дополнительная энергия (1). Поскольку спин нейтрона s = 1/2, она имеет два значения для двух возможных ориентаций спина нейтрона, происходит расщепление энергии нейтрона на два подуровня в зависимости от ориентации спина. Если подобрать частоту переменного поля так, чтобы энергия квантов была равна разности энергий подуровней

произойдет переворачивание спина. Нейтроны не будут фокусироваться магнитом 3, т.е. не попадут в детектор. На графике интенсивности счета в зависимости от частоты высокочастотного поля в резонансе (4) будет резкий провал, положение которого определит гиромагнитное отношение gs = -3.82629, а значит и магнитный момент нейтрона μn = -1.91348 μя. Отрицательное значение магнитного момента означает, что спин нейтрона и его магнитный момент направлены в противоположные стороны.

При определении магнитных моментов ядер этим методом используют молекулярные пучки, чтобы суммарный магнитный момент электронных оболочек был равен нулю. Иначе не определить магнитный момент ядра на фоне превышающего на порядки магнитного момента оболочки.

Ядерный магнитный резонанс (ЯМР)

Ядерный магнитный резонанс – резонансное поглощение электромагнитных волн атомными ядрами, происходящее при изменении ориентации векторов их собственных моментов количества движения (спинов). Ядра исследуемого вещества должны обладать не равным нулю магнитным моментом.

В качестве простейшего вещества возьмем водород. Во внешнем магнитном поле ядро, обладающее магнитным моментом, как любой магнит, начинает чувствовать это магнитное поле, и если его спиновое число равно 1/2, то появляются два направления его преимущественной ориентации: по направлению и против направления магнитного поля. Скалярное произведение в (1) будет, следовательно, иметь два значения, и энергия протона будет больше в том случае, если его магнитный момент (и спин) направлен в сторону, противоположную полю. Эту энергию обозначим E2. Если магнитный момент (спин) протона направлен в ту же сторону, что и поле, то энергия протона, обозначаемая E1, будет меньше (E1 < E2). В состоянии термодинамического равновесия населенности нижнего (N1) и верхнего (N2) уровней определяются распределением Больцмана:
Рис.4. Медицинская установка

Т.е. на нижнем уровне ядер будет больше. Если протону в состоянии 1 добавить энергию ΔE = E2 - E1, то он сможет скачком перейти в состояние с большей энергией, в котором его спин будет направлен против поля. Это можно осуществить, подействовав электромагнитным излучением с энергией квантов hν = ΔE. Такой изменение ориентации протонов будет сопровождаться резким (резонансным) поглощением квантов (и энергии) облучающего электромагнитного поля. Это явление и называют ядерным магнитным резонансом.

ЯМР широко используется в физике, химии и биохимии для исследования структуры твёрдых тел и сложных молекул. В медицине с помощью ЯМР с разрешением 0.5–1 мм получают пространственное изображение внутренних органов человека.    

Форма ядра. Квадрупольный момент ядра

Начнем издалека. Моментами функции f(x) называются интегралы вида

Рис.5. Диполи

Если известны моменты для большого числа n, то можно восстановить вид функции f(x) (точно при n → ∞).

Пусть ρ(r) - распределение заряда в ядре относительно центра инерции. Нулевой момент M0 - это просто заряд ядра

Более сложной электрической характеристикой является дипольный момент (n = 1). Если разноименные заряды e расположены на расстоянии d (рис.5а), то дипольный момент равен D = e·d, и он характеризует взаимодействие диполя с электрическим полем. Например, вращающий момент N = D·E. Если в ядре центры тяжести протонной и нейтронной "жидкостей" не совпадают (рис.5б), ядро будет обладать дипольным моментом D = Ze·d, где d - расстояние между этими центрами. Точнее проекцией дипольного момента Dz на ось z (например, совмещенную со спином ядра) называется интеграл

Плотность заряда выражена через квадрат модуля волновой функции и заряд ядра Ze.
Рис.6 Квадруполь

Электрический дипольный момент ядер в основном состоянии равен нулю, т.к. квадрат волновой функции основного состояния ядра является четной функцией координат, z – нечетная функция. Интеграл по трехмерному пространству от произведения четной и нечетной функций всегда равен 0. Первый момент n = 1 распределения заряда не добавляет информации об этом распределении.

Более информативной характеристикой является электрический квадрупольный момент - мера отклонения распределения ядра от сферически симметричного. Простейший квадруполь - это пара равных и противоположно направленных диполей (рис.6). Такая система обладает квадрупольным моментом Q = 2·D·b = 2·e·d·b. Величина его, отнесенная к единичному заряду, измеряется в квадратных метрах.

Для ядра собственный квадрупольный момент Q0 определяют в системе координат, связанной с ядром (ось ζ направлена вдоль спина)
Рис.7 Форма ядра

где r(ξ,η,ζ) - расстояние от центра инерции ядра. Так как r2 = ξ2 + η2 + ζ2, то 3·ζ2 = r2 для сферически симметричного распределения (Q0 = 0); 3·ζ2 > r2 для распределения, вытянутого вдоль оси ζ (Q0 > 0) и 3·ζ2 < r2 (Q0 < 0) для распределения, сплюснутого вдоль ζ.

Наблюдаемый квадрупольный момент Q определяют относительно оси z, совпадающей с выделенным направлением в лабораторной системе координат

Наблюдаемый электрический квадрупольный момент Q связан с внутренним электрическим квадрупольным моментом Q0 соотношением

Наблюдаются следующие закономерности (рис.8):

  1. Равенство нулю квадрупольных моментов магических ядер (Z, N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126). Таким образом, эти ядра сферические или близки к ним.
  2. Квадрупольные моменты растут при отходе от магических ядер, достигая наибольших значений в середине между магическими числами.
  3. Большие величины квадрупольных моментов характерны для вытянутых ядер (Q > 0). Число вытянутых ядер больше, чем сплюснутых.
Рис.8 Зависимость собственного квадрупольного электрического момента от числа нейтронов N или числа протонов Z

Если ядро представить как эллипсоид с полуосями b и a, то для легких ядер (b-a)/a ~ 0.01 - 0.02, а для тяжелых (b-a)/a ~ 0.1 - 0.2.

При отличии от нуля квадрупольного электрического момента в неоднородном электрическом поле происходит расщепление спектральных линий за счет дополнительной энергии взаимодействия этого момента с полем

Несферичность ядра проявляется также в наличии линий вращательного спектра как в молекулах.
Рис.9 Дейтрон

Отметим один интересный результат: дейтрон, состоящий из протона и нейтрона (ядро тяжелого водорода), имеет бо́льший нуля квадрупольный момент Q/e = 0.0028·10-28 м2. О чем это говорит?

  1. Q ≠ 0 - волновая функция, описывающая движение нуклонов, не имеет сферической симметрии, дейтрон - слегка вытянутый эллипсоид;
  2. Q > 0 - распределение заряда вытянуто вдоль оси, совпадающей с направлением спина дейтрона. Ядерные силы оказываются максимальными (и образуется связанное состояние протон - нейтрон), когда протон и нейтрон расположены вдоль оси дейтрона (рис.9.a), а не вдоль перпендикулярной линии (рис.9.b). Ядерные силы зависят не только от расстояния между частицами, но и от взаимной ориентации спинов и линии, соединяющей частицы. Т.е. носят нецентральный характер.

Четность. Симметричен ли мир?

Представим себе такую ситуацию: Вы летите на космическом корабле к планете, с жителями которой установлена связь. В пути произошла поломка, и Вы просите жителей планеты изготовить деталь, чертеж которой передали. Как указать, что резьба на винтах должна быть правая? Возможно ли это?

Поведение квантово-механической системы при зеркальном отражении характеризуется свойством, названным четностью. Операция зеркального отражения Р заключается в следующем преобразовании координат частиц: x, y, z → -x, -y, -z. Такое преобразование проводится с помощью оператора четности:

Повторная операция пространственной инверсии переводит волновую функцию ψ(х,у,z) саму в себя:

Отсюда следует p2 = 1 и p = ±1.

Если в результате инверсии волновая функция не меняет знак (p = +1), состояние системы называют четным. В случае изменения знака (p = -1) - нечетным.

В случае сильных и электромагнитных взаимодействий четность сохраняется (закон сохранения четности). Если система была, например, в четном состоянии, то при взаимодействии она и будет оставаться в этом состоянии. Это накладывает ограничение на возможные процессы.

Элементарным частицам приписывают внутреннюю четность: электроны, протоны, нейтроны имеют четность pвн = +1, π-мезоны, например, отрицательную pвн = -1.

Рассмотрим пример ядерной реакции с двумя вариантами конечного состояния

Ядро 8Be распадается на две α-частицы за время τ ~ 10-16 с, которые и детектируются. Как пойдет реакция? Это зависит от характера относительного движения протона и ядра лития. Момент количества движения определяется орбитальным квантовым числом l и равен ħ2√l(l+1), а четность pпротона·pLi·pотн.движ = (+1)(-1)(-1)l

При малых энергиях взаимодействия происходят при l = 0, т.е. четность начального состояния -1. α-частицы имеют положительную четность. Следовательно, вариант α + α подавлен из-за не сохранения четности.

Другой пример.

При наложении магнитного поля интенсивность излучения отдельных спектральных линий остаётся симметричной относительно плоскости, перпендикулярной полю, хотя и перестаёт быть одинаковой во всех направлениях. Излучение вдоль поля такое же, как и в противоположном направлении. Если представить себе установку для наблюдения эффекта Зеемана в виде кругового проводника с током и с образцом, помещенным в центре круга, то зеркальная симметрия этой установки становится очевидной.

В 1954 - 1956 годах открыты две частицы с разными схемами распада:

Рис.9 β-распад 60Co в магнитном поле

Удивительным было, что массы и другие характеристики этих частиц совпадали. Но четности конечных состояний, очевидно, были различны. В 1956 году физиками Ли и Янгом высказано предположение, что θ+; и τ+; - это одна и та же частица, но в слабом взаимодействии, ответственном за распад, четность может не сохранятся. Это подтверждено опытом госпожи Ву. Мишень из радиоактивного кобальта 60Co была помещена в магнитное поле и сильно охлаждена. Ядра кобальта обладают магнитным моментом и в магнитном поле ориентируются по полю и против него. Энергии этих состояний, как мы видели выше, несколько отличаются. Сильное охлаждение приводит к тому, что большинство ядер окажется в состоянии с меньшей энергией. Таким образом получена поляризованная мишень. Наблюдение за β - частицами, испускаемыми при распаде, показало, что испускание электронов не симметрично относительно плоскости, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля(рис.9). Электроны испускаются преимущественно в направлении противоположном направлению магнитного поля (и спинов ядер).

Таким образом было доказано, что в слабых взаимодействиях четность не сохраняется.

Есть возможность отличить правое от левого!

Интересна связь симметрии и законов сохранения
Закон сохранения Симметрия
Закон сохранения энергии Симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени: все явления в замкнутой системе при одинаковых начальных условиях будут дальше протекать совершенно одинаково, независимо от того, в какой момент времени эти начальные условия созданы.
Закон сохранения импульса Однородность пространства: все явления в замкнутой системе не изменятся, если осуществить параллельный перенос системы из одного места в другое таким образом, чтобы все тела в ней оказались в тех же условиях, в каких они находились в прежнем положении.
Закон сохранения момента импульса Симметрия относительно поворота в пространстве, т.е. поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на её механических свойствах
Закон сохранения электрического заряда Заряженные поля в квантовой теории поля описываются комплексной волновой функцией Ψ(x) = |A(x)|exp(iΘ(x)), где x — пространственно-временная координата, A - амплитуда, Θ - фаза. Симметрия относительно изменения фазы: замена фазы Θ(x) на Θ(x)+Δ никак не отразится на поведении системы.
Закон сохранения четности Симметрия относительно зеркального отражения
Закон сохранения барионного заряда ... ?? ...
Закон сохранения лептонного заряда ... ?? ...

Следует помнить, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета.

Капельная модель ядра

Когда мы не можем начать изучение физического явления с основополагающих принципов (они неизвестны), мы ищем какое-либо хорошо изученное явление с подобными свойствами и на основе известного развиваем модель неизвестного. Пример: планетарная модель атома Н.Бора.

Пока знаний недостаточно, чтобы построить точную теорию атомного ядра. Создано большое число моделей атомного ядра. Каждая из них объясняет ряд свойств ядра. Ни одна, к сожалению, не объясняет всей совокупности экспериментальных фактов.

В основе модели жидкой капли (Нильс Бор, 1936 г.) служит сходство ядерной материи с жидкостью. К таким свойствам следует отнести: несжимаемость ядра, постоянство ядерной плотности: ρ ~ 1017 кг/м3, свойство насыщения ядерных сил. Ядро представляется, как капля заряженной жидкости. С помощью модели удалось объяснить ряд свойств ядра, деление ядер и, в первую очередь, получить полуэмпирическую формулу для энергии связи ядра.

Соображения, которые привели к получению этой формулы, приведены в лекции Введение. Энергия связи ядра. Массы и размеры ядер.

Первое слагаемое говорит о том, что, если нуклоны как молекулы в жидкости взаимодействуют только с ближайшими соседями, энергия связи пропорциональна числу нуклонов. Нуклоны на поверхности слабее связаны с остальными, энергию поверхностного натяжения надо вычесть. Это второе слагаемое. Отталкивание протонов уменьшает энергию связи (третье слагаемое). Последние два слагаемых добавлены, чтобы учесть, что минимальна энергия при равенстве числа протонов и нейтронов, и спаривание нуклонов (они не вытекают из модели жидкой капли).

Формула (5) позволяет по известным A и Z вычислять энергию связи ядра с погрешностью ~10 МэВ. При A ~ 100 это дает относительную ошибку ~10-2. Зная энергию связи, находим массу ядра

Здесь mp - масса протона, mp - масса нейтрона, c - скорость света. Точность вычисления массы ядра ~10-4.

Используя формулу (5) с известными коэффициентами можно легко найти условие, связывающее A и Z всех β-стабильных ядер. Действительно, формула (5) при постоянном A дает зависимость массы ядра от его заряда. Эта зависимость имеет параболический характер. Наиболее устойчивое ядро имеет наименьшую массу, и, следовательно, соответствующее ему Z0 может быть найдено методом определения минимума кривой. Дифференцируя выражение (5) по Z при постоянном A и приравнивая производную к нулю, получим формулу:

Важное применение капельная модель нашла в объяснении механизма деления тяжелых ядер. Возможность деления зависит от величины суммы поверхностной и кулоновской энергий исходного ядра и осколков. При изменении формы ядра и превращении из сферического , например, в эллипсоидальное, объем ядра не меняется, но его поверхность увеличивается. Поэтому поверхностная энергия возрастет по абсолютной величине, так что поверхностные силы будут стремиться вернуть ядро в исходное недеформированное состояние. С другой стороны, кулоновская энергия ядра, наоборот, уменьшится по абсолютной величине из-за увеличения среднего расстояния между протонами, и кулоновские силы отталкивания будут стремиться увеличить деформацию ядра. При малых деформациях преобладают силы поверхностного натяжения, при больших - силы кулоновского отталкивания. Таким образом, возникает потенциальный барьер (см. лекцию о ядерных реакциях).

Капельная модель позволяет рассмотреть и некоторые свойства ядерных реакций. При попадании в ядро бомбардирующей частицы (протона, нейтрона и т. д.) ее кинетическая энергия в течение очень короткого времени должна перераспределяться между всеми нуклонами ядра. Если новое ядро испытывает распад, то его называют промежуточным, а испускание частицы при распаде рассматривают как процесс, эквивалентный испарению молекулы с поверхности жидкой капли. Очевидно, что этот распад не должен зависеть от того, каким образом было получено промежуточное ядро; в частности, направление скорости испускаемых частиц не должно быть связано с направлением скорости ранее влетевшей частицы. Эта гипотеза о независимости распада промежуточного ядра от способа его образования, обоснованная Н. Бором, получила ряд экспериментальных подтверждений, однако наблюдались и некоторые отклонения.

Оболочечная модель ядра

Оболочечная модель в определенном смысле противоположна капельной: в капельной модели сильно взаимодействующие нуклоны рассматриваются вместе - движения только коллективные; в оболочечной подразумевается, что каждый нуклон находится в своем состоянии, имеет определенные энергию, механический и магнитный моменты. Нуклоны движутся сравнительно независимо друг от друга.

Какие факты говорят в пользу оболочечной модели? Вспомним, что значит "оболочка" в атоме. Группу электронов, имеющие близкие энергии и максимумы плотности вероятности на определенном расстоянии от ядра, объединяют в оболочку. Атомы с замкнутыми оболочками (Z = 2, 10, 19, ...) обладают особой устойчивостью и не вступают в реакции.

В природе существует ряд ядер, которые обладают аномально большой энергией связи, т.е. обладают повышенной устойчивостью. Это такие ядра, у которых Z или число нейтронов N = 2, 8, 20, 50, 82, 126. Этот ряд чисел называют "магическим". Особо устойчивы ядра, у которых и Z и N равны магическим числам (дважды магические ядра). Рассмотрим, например, ряд ядер, каждое следующее из которых получается из предыдущего присоединением одного нуклона

Здесь ε - энергия присоединения (энергия связи) этого нуклона. Ядра 4He + n и 4He + p неустойчивы. Т.о. ядро гелия с Z = N = 2 обладает особой устойчивостью. Подтверждением этого служит тот факт, что ядра 4He (α - частицы) испускаются при радиоактивном распаде.

Магические ядра имеют много изотопов, их содержание в естественной смеси изотопов повышено. Например, 2040Ca (Z = 20 и N = 20) составляет 97% в естественной смеси, а олово (Z = 50) имеет 10 стабильных изотопов.

Магические ядра имеют очень малые сечения захвата нейтронов (на порядки меньшие, чем у соседних ядер).

Для магических ядер характерно сферически симметричное распределение заряда (квадрупольный момент Q = 0).
Рис.10 U(r)ядра

Теоретические предпосылки модели оболочек.

Чем в атоме обусловлены электронные оболочки? Во-первых, электроны движутся в кулоновском поле ядра U(r). Это поле можно считать центральным, т.е. зависящим только от расстояния от центра. Взаимодействие с ядром является определяющим. Энергия электрона определяется в основном главным квантовым числом n. Разные значения орбитального момента при данном n вносят небольшие изменения в энергии. Плюс для электронов выполняется принцип Паули: в определенном состоянии (заданном набором квантовых чисел) может находиться только один электрон. Совокупность электронов с одним квантовым числом n, имеющих близкие энергии, составляет оболочку. При n = 1 l = 0, а спин может быть ориентирован двояким способом. Получаем, что при n = 1 (К-оболочка) замкнутая оболочка содержит два электрона. И так далее.

А что с ядром? Единого центра нет, но вследствие короткодействующего характера ядерных сил ядерное взаимодействие можно описать с помощью узкой (~10-15 м) и глубокой (~30 МэВ) потенциальной ямы. Можно считать, что нуклон движется в среднем (не зависящем от времени) поле, образуемом наложением полей других нуклонов. Радиус действия ядерных сил мал, и суммарный потенциал мало меняется внутри ядра (при переходе от точки к точке внутри ядра) и быстро спадает к краю ядра Ядро примерно шар, и потенциал сферически симметричен U = U(r) (рис.10).

В прямоугольной потенциальной яме значения энергии дискретны, и нуклоны заполняют состояния, начиная с нижнего. С одной стороны нуклоны сильно взаимодействуют друг с другом, с другой - состояние нуклона (кроме расположенных на верхних уровнях) не может измениться, т.к. все нижние и верхние для него заняты. Поэтому нуклоны можно считать практически невзаимодействующими.

Нуклоны имеют спин 1/2 и подчиняются принципу Паули. Выполнены все условия, приводящие к оболочкам в атомах.

Математическое описание модели оболочек заключается в решении уравнения Шредингера в поле, описываемом потенциалом U(r). Простейшее приближение - прямоугольная потенциальная яма. В лекции получено решение для одномерной ямы U(x). Для трехмерной ямы решение сложнее, но качественные выводы те же:
Рис.11 Схема уровней и их заполнения

  1. Существуют дискретные возможные значения энергии частицы. Они определяются главным квантовым числом n
  2. Кроме того при движении в центральном поле частица обладает дискретным моментом количества, характеризуемом орбитальным квантовым числом l. l = 0, 1, 2,... Энергия уровня зависит от n и l.
  3. Полный момент количества движения нуклона j складывается из орбитального l и спинового s моментов

    Взаимодействие сильнее, если спин направлен в ту же сторону, что и орбитальный момент. Состояние с j=l+1/2 обладает большей энергией (ближе к дну потенциальной яме). Энергия состояния зависит от того, как складываются моменты l и s.

  4. Проекция полного момента mj принимает 2j+1 значений от -j до +j. Вне магнитного поля энергия не зависит от ориентации полного момента.
  5. Расчет энергий состояний и их заполнения для прямоугольной потенциальной ямы дает правильные значения числа нуклонов (совпадающие с магическими числами) только для первых двух заполненных оболочек (2, 8). Скругление углов добавляет еще одно значение 20. Весь ряд магических чисел получен с потенциалом Вудса-Саксона

    и учетом спин-орбитального взаимодействия

  6. Для протонов и нейтронов существуют свои структуры уровней, заполняются независимо с учетом принципа Паули.

Схема уровней для простейшего варианта оболочечной модели приведена на рис.11. Уровень 1s1/2 самый глубокий и образует первую оболочку. На нем можно разместить два нуклона с противоположно направленными спинами. На расщепленном уровне 1p может разместиться 6 нуклонов, и он составляет вторую оболочку. Ядро гелия имеет заполненную первую оболочку для протоном и нейтронов - получаем дважды магическое ядро. Следующее дважды магическое ядро - это ядро кислорода с 8 протонами и 8 нейтронами. И так далее.

Нуклон сверх заполненной оболочки относительно слабо связан с ядром. Это иллюстрирует таблица, в которой приведены значения энергии связи ядра, приходящейся на 1 нуклон Gя/A, энергия для отрыва нейтрона от ядра En, и энергия для отрыва протона Ep.
Ядро12C13C13N16O
Gя/A, МэВ7.677.457.227.96
En, МэВ18.74.9520.115.66
Ep, МэВ15.917.41.912.1

Объяснение реальных свойств ядер

Вычисление спинов и четностей ядер. Для замкнутой оболочки спин равен нулю, и спин ядра обусловлен только спинами нуклонов вне замкнутой оболочки. Например, ядро 17O имеет сверх замкнутой оболочки 1 нейтрон (он девятый), находящийся в d5/2 состоянии. Полный момент его j = 5/2, и спин ядра 5/2, а четность (-1)2 положительная. Правда тут надо сделать замечание, что параметры потенциала подбирались так, чтобы давать правильные спины и четности определенного ряда ядер.

Магнитные моменты

В рассматриваемой одночастичной модели для нечетных ядер с нечетным A магнитный момент ядра должен быть обусловлен магнитным моментом неспаренной нечетной частицы. В следующей таблице приведены спины и магнитные моменты ядер, у которых заполняется первая оболочка.
Ядро (нуклон)Спинμэкспμтеор
n1/2-1.91-
p1/2+2.79-
2H1+0.86+0.88
3H1/2+2.98+2.79
3He1/2-2.13-1.91
4He000

Наблюдается довольно хорошее совпадение экспериментальных и теоретических значений магнитных моментов. Чем сложнее ядро, тем труднее становится подсчет μтеор. Но можно утверждать, что теоретические значения не противоречат экспериментальным.

Ядерная изомерия

Ядерными изомерами называют ядра, которые живут в возбужденном состоянии часы и дни. Времена жизни γ-радиоактивных ядер обычно имеют порядок 10-12 – 10-17 с. Если разность спинов начального и конечного состояний велика, четность при переходе не сохраняется и энергия распада Qγ мала, то ядро может жить в возбужденном состоянии часы и дни. Известно около сотни долгоживущих ядер. Например, индий 113mIn с периодом полураспада 104 минуты. Оболочечная модель дает объяснение этому явлению. На схеме уровней видно, что при заполнении четвертой оболочки рядом расположены уровни 2p1/2 1g9/2, разность спинов составляет 9/2 - 1/2 = 4. Эти состояния имеют и разные четности (-1)1=-1 и (-1)4=+1. Поэтому для ядер, образующихся при заполнения состояния 2p1/2, ближайшим возбужденным будет состояние 1g9/2, переход из которого происходит с малой вероятностью. Острова изомерии расположены непосредственно перед магическими числами 50, 82 и 126 со стороны меньших Z и N. Так, изомерные состояния наблюдаются в ядрах 86Rb (N = 49), 131Te (N = 79, что близко к 82), 199Hg (Z = 80, что близко к 82) и т. д.

Характер β-распада

β-распад - внутри нуклонный процесс. Вероятность распада зависит от начального и конечного состояний нуклона. Рассмотрим в качестве первого примера β-распад трития

При этом нейтрон, находящийся в 1s1/2 состоянии, превращается в протон. Для этого протона есть вакансия в 1s1/2 состоянии. Такой процесс происходит с большой вероятностью и относится к разрешенным.

Теперь другой пример - распад изотопа олова

При этом 73-й нейтрон, находящийся в 1h11/2 состоянии, превращается в 51-й протон в 1g7/2 состоянии. Эти состояния отличаются спинами Δj = 2 и четностью. Такой переход, согласно теории β-распада, относится к запрещенным, характеризующимися большими периодами полураспада. Оболочечная модель правильно предсказывает характер β-распада.

Есть и свойства ядер, которые не объясняются в рамках оболочечной модели. Например, она дает резко заниженные значения квадрупольных моментов. Неудачным будет попытка описать свойства возбужденных ядер, т.к. в этом случае надо отказаться от неизменности состояний при столкновении внутри ядра.

Обобщенная модель ядра

Модель рассматривает заполненную оболочку как остов, и в ее поле вращается дополнительный нуклон. Остов ядра деформируется валентным нуклоном, что приводит к появлению квадрупольного электрического момента ядра Q. Модель правильно описывает поведение квадрупольного электрического момента для разных ядер. В несферических ядрах возможно появление колебательных и вращательных уровней, и их можно рассчитать в рамках модели.

Есть и другие модели ядер. Каждую модель можно использовать лишь в ограниченных пределах.

Если есть какие-либо замечания, напишите мне.