Модели атомных ядер

Конспект лекции

Аннотация: знакомство со свойствами атомных ядер. Традиционное изложение темы.

Содержание

 

Капельная модель ядра

Когда мы не можем начать изучение физического явления с основополагающих принципов (они неизвестны), мы ищем какое-либо хорошо изученное явление с подобными свойствами и на основе известного развиваем модель неизвестного. Пример: планетарная модель атома Н.Бора.

Пока знаний недостаточно, чтобы построить точную теорию атомного ядра. Создано большое число моделей атомного ядра. Каждая из них объясняет ряд свойств ядра. Ни одна, к сожалению, не объясняет всей совокупности экспериментальных фактов.

В основе модели жидкой капли (Нильс Бор, 1936 г.) служит сходство ядерной материи с жидкостью. К таким свойствам следует отнести: несжимаемость ядра, постоянство ядерной плотности: ρ ~ 1017 кг/м3, свойство насыщения ядерных сил. Ядро представляется, как капля заряженной жидкости. С помощью модели удалось объяснить ряд свойств ядра, деление ядер и, в первую очередь, получить полуэмпирическую формулу для энергии связи ядра.

Соображения, которые привели к получению этой формулы, приведены в лекции Введение. Энергия связи ядра. Массы и размеры ядер.

Первое слагаемое говорит о том, что, если нуклоны как молекулы в жидкости взаимодействуют только с ближайшими соседями, энергия связи пропорциональна числу нуклонов. Нуклоны на поверхности слабее связаны с остальными, энергию поверхностного натяжения надо вычесть. Это второе слагаемое. Отталкивание протонов уменьшает энергию связи (третье слагаемое). Последние два слагаемых добавлены, чтобы учесть, что минимальна энергия при равенстве числа протонов и нейтронов, и спаривание нуклонов (они не вытекают из модели жидкой капли).

Формула (5) позволяет по известным A и Z вычислять энергию связи ядра с погрешностью ~10 МэВ. При A ~ 100 это дает относительную ошибку ~10-2. Зная энергию связи, находим массу ядра

Здесь mp - масса протона, mp - масса нейтрона, c - скорость света. Точность вычисления массы ядра ~10-4.

Используя формулу (5) с известными коэффициентами можно легко найти условие, связывающее A и Z всех β-стабильных ядер. Действительно, формула (5) при постоянном A дает зависимость массы ядра от его заряда. Эта зависимость имеет параболический характер. Наиболее устойчивое ядро имеет наименьшую массу, и, следовательно, соответствующее ему Z0 может быть найдено методом определения минимума кривой. Дифференцируя выражение (5) по Z при постоянном A и приравнивая производную к нулю, получим формулу:

Важное применение капельная модель нашла в объяснении механизма деления тяжелых ядер. Возможность деления зависит от величины суммы поверхностной и кулоновской энергий исходного ядра и осколков. При изменении формы ядра и превращении из сферического , например, в эллипсоидальное, объем ядра не меняется, но его поверхность увеличивается. Поэтому поверхностная энергия возрастет по абсолютной величине, так что поверхностные силы будут стремиться вернуть ядро в исходное недеформированное состояние. С другой стороны, кулоновская энергия ядра, наоборот, уменьшится по абсолютной величине из-за увеличения среднего расстояния между протонами, и кулоновские силы отталкивания будут стремиться увеличить деформацию ядра. При малых деформациях преобладают силы поверхностного натяжения, при больших - силы кулоновского отталкивания. Таким образом, возникает потенциальный барьер (см. лекцию о ядерных реакциях).

Капельная модель позволяет рассмотреть и некоторые свойства ядерных реакций. При попадании в ядро бомбардирующей частицы (протона, нейтрона и т. д.) ее кинетическая энергия в течение очень короткого времени должна перераспределяться между всеми нуклонами ядра. Если новое ядро испытывает распад, то его называют промежуточным, а испускание частицы при распаде рассматривают как процесс, эквивалентный испарению молекулы с поверхности жидкой капли. Очевидно, что этот распад не должен зависеть от того, каким образом было получено промежуточное ядро; в частности, направление скорости испускаемых частиц не должно быть связано с направлением скорости ранее влетевшей частицы. Эта гипотеза о независимости распада промежуточного ядра от способа его образования, обоснованная Н. Бором, получила ряд экспериментальных подтверждений, однако наблюдались и некоторые отклонения.

Оболочечная модель ядра

Оболочечная модель в определенном смысле противоположна капельной: в капельной модели сильно взаимодействующие нуклоны рассматриваются вместе - движения только коллективные; в оболочечной подразумевается, что каждый нуклон находится в своем состоянии, имеет определенные энергию, механический и магнитный моменты. Нуклоны движутся сравнительно независимо друг от друга.

Какие факты говорят в пользу оболочечной модели? Вспомним, что значит "оболочка" в атоме. Группу электронов, имеющие близкие энергии и максимумы плотности вероятности на определенном расстоянии от ядра, объединяют в оболочку. Атомы с замкнутыми оболочками (Z = 2, 10, 18, ...) обладают особой устойчивостью и не вступают в реакции.

В природе существует ряд ядер, которые обладают аномально большой энергией связи, т.е. обладают повышенной устойчивостью. Это такие ядра, у которых Z или число нейтронов N = 2, 8, 20, 50, 82, 126. Этот ряд чисел называют "магическим". Особо устойчивы ядра, у которых и Z и N равны магическим числам (дважды магические ядра). Рассмотрим, например, ряд ядер, каждое следующее из которых получается из предыдущего присоединением одного нуклона

Здесь ε - энергия присоединения (энергия связи) этого нуклона. Ядра 4He + n и 4He + p неустойчивы. Т.о. ядро гелия с Z = N = 2 обладает особой устойчивостью. Подтверждением этого служит тот факт, что ядра 4He (α - частицы) испускаются при радиоактивном распаде.

Магические ядра имеют много изотопов, их содержание в естественной смеси изотопов повышено. Например, 2040Ca (Z = 20 и N = 20) составляет 97% в естественной смеси, а олово (Z = 50) имеет 10 стабильных изотопов.

Магические ядра имеют очень малые сечения захвата нейтронов (на порядки меньшие, чем у соседних ядер).

Для магических ядер характерно сферически симметричное распределение заряда (квадрупольный момент Q = 0).
Рис.10 U(r)ядра

Теоретические предпосылки модели оболочек.

Чем в атоме обусловлены электронные оболочки? Во-первых, электроны движутся в кулоновском поле ядра U(r). Это поле можно считать центральным, т.е. зависящим только от расстояния от центра. Взаимодействие с ядром является определяющим. Энергия электрона определяется в основном главным квантовым числом n. Разные значения орбитального момента при данном n вносят небольшие изменения в энергии. Плюс для электронов выполняется принцип Паули: в определенном состоянии (заданном набором квантовых чисел) может находиться только один электрон. Совокупность электронов с одним квантовым числом n, имеющих близкие энергии, составляет оболочку. При n = 1 l = 0, а спин может быть ориентирован двояким способом. Получаем, что при n = 1 (К-оболочка) замкнутая оболочка содержит два электрона. И так далее.

А что с ядром? Единого центра нет, но вследствие короткодействующего характера ядерных сил ядерное взаимодействие можно описать с помощью узкой (~10-15 м) и глубокой (~30 МэВ) потенциальной ямы. Можно считать, что нуклон движется в среднем (не зависящем от времени) поле, образуемом наложением полей других нуклонов. Радиус действия ядерных сил мал, и суммарный потенциал мало меняется внутри ядра (при переходе от точки к точке внутри ядра) и быстро спадает к краю ядра Ядро примерно шар, и потенциал сферически симметричен U = U(r) (рис.10).

В прямоугольной потенциальной яме значения энергии дискретны, и нуклоны заполняют состояния, начиная с нижнего. С одной стороны нуклоны сильно взаимодействуют друг с другом, с другой - состояние нуклона (кроме расположенных на верхних уровнях) не может измениться, т.к. все нижние и верхние для него заняты. Поэтому нуклоны можно считать практически невзаимодействующими.

Нуклоны имеют спин 1/2 и подчиняются принципу Паули. Выполнены все условия, приводящие к оболочкам в атомах.

Математическое описание модели оболочек заключается в решении уравнения Шредингера в поле, описываемом потенциалом U(r). Простейшее приближение - прямоугольная потенциальная яма. В лекции получено решение для одномерной ямы U(x). Для трехмерной ямы решение сложнее, но качественные выводы те же:
Рис.11 Схема уровней и их заполнения

  1. Существуют дискретные возможные значения энергии частицы. Они определяются главным квантовым числом n
  2. Кроме того при движении в центральном поле частица обладает дискретным моментом количества, характеризуемом орбитальным квантовым числом l. l = 0, 1, 2,... Энергия уровня зависит от n и l.
  3. Полный момент количества движения нуклона j складывается из орбитального l и спинового s моментов

    Взаимодействие сильнее, если спин направлен в ту же сторону, что и орбитальный момент. Состояние с j=l+1/2 обладает большей энергией (ближе к дну потенциальной яме). Энергия состояния зависит от того, как складываются моменты l и s.

  4. Проекция полного момента mj принимает 2j+1 значений от -j до +j. Вне магнитного поля энергия не зависит от ориентации полного момента.
  5. Расчет энергий состояний и их заполнения для прямоугольной потенциальной ямы дает правильные значения числа нуклонов (совпадающие с магическими числами) только для первых двух заполненных оболочек (2, 8). Скругление углов добавляет еще одно значение 20. Весь ряд магических чисел получен с потенциалом Вудса-Саксона

    и учетом спин-орбитального взаимодействия

  6. Для протонов и нейтронов существуют свои структуры уровней, заполняются независимо с учетом принципа Паули.

Схема уровней для простейшего варианта оболочечной модели приведена на рис.11. Уровень 1s1/2 самый глубокий и образует первую оболочку. На нем можно разместить два нуклона с противоположно направленными спинами. На расщепленном уровне 1p может разместиться 6 нуклонов, и он составляет вторую оболочку. Ядро гелия имеет заполненную первую оболочку для протоном и нейтронов - получаем дважды магическое ядро. Следующее дважды магическое ядро - это ядро кислорода с 8 протонами и 8 нейтронами. И так далее.

Нуклон сверх заполненной оболочки относительно слабо связан с ядром. Это иллюстрирует таблица, в которой приведены значения энергии связи ядра, приходящейся на 1 нуклон Gя/A, энергия для отрыва нейтрона от ядра En, и энергия для отрыва протона Ep.
Ядро12C13C13N16O
Gя/A, МэВ7.677.457.227.96
En, МэВ18.74.9520.115.66
Ep, МэВ15.917.41.912.1

Объяснение реальных свойств ядер

Вычисление спинов и четностей ядер. Для замкнутой оболочки спин равен нулю, и спин ядра обусловлен только спинами нуклонов вне замкнутой оболочки. Например, ядро 17O имеет сверх замкнутой оболочки 1 нейтрон (он девятый), находящийся в d5/2 состоянии. Полный момент его j = 5/2, и спин ядра 5/2, а четность (-1)2 положительная. Правда тут надо сделать замечание, что параметры потенциала подбирались так, чтобы давать правильные спины и четности определенного ряда ядер.

Магнитные моменты

В рассматриваемой одночастичной модели для нечетных ядер с нечетным A магнитный момент ядра должен быть обусловлен магнитным моментом неспаренной нечетной частицы. В следующей таблице приведены спины и магнитные моменты ядер, у которых заполняется первая оболочка.
Ядро (нуклон)Спинμэкспμтеор
n1/2-1.91-
p1/2+2.79-
2H1+0.86+0.88
3H1/2+2.98+2.79
3He1/2-2.13-1.91
4He000

Наблюдается довольно хорошее совпадение экспериментальных и теоретических значений магнитных моментов. Чем сложнее ядро, тем труднее становится подсчет μтеор. Но можно утверждать, что теоретические значения не противоречат экспериментальным.

Ядерная изомерия

Ядерными изомерами называют ядра, которые живут в возбужденном состоянии часы и дни. Времена жизни γ-радиоактивных ядер обычно имеют порядок 10-12 – 10-17 с. Если разность спинов начального и конечного состояний велика, четность при переходе не сохраняется и энергия распада Qγ мала, то ядро может жить в возбужденном состоянии часы и дни. Известно около сотни долгоживущих ядер. Например, индий 113mIn с периодом полураспада 104 минуты. Оболочечная модель дает объяснение этому явлению. На схеме уровней видно, что при заполнении четвертой оболочки рядом расположены уровни 2p1/2 1g9/2, разность спинов составляет 9/2 - 1/2 = 4. Эти состояния имеют и разные четности (-1)1=-1 и (-1)4=+1. Поэтому для ядер, образующихся при заполнения состояния 2p1/2, ближайшим возбужденным будет состояние 1g9/2, переход из которого происходит с малой вероятностью. Острова изомерии расположены непосредственно перед магическими числами 50, 82 и 126 со стороны меньших Z и N. Так, изомерные состояния наблюдаются в ядрах 86Rb (N = 49), 131Te (N = 79, что близко к 82), 199Hg (Z = 80, что близко к 82) и т. д.

Характер β-распада

β-распад - внутри нуклонный процесс. Вероятность распада зависит от начального и конечного состояний нуклона. Рассмотрим в качестве первого примера β-распад трития

При этом нейтрон, находящийся в 1s1/2 состоянии, превращается в протон. Для этого протона есть вакансия в 1s1/2 состоянии. Такой процесс происходит с большой вероятностью и относится к разрешенным.

Теперь другой пример - распад изотопа олова

При этом 73-й нейтрон, находящийся в 1h11/2 состоянии, превращается в 51-й протон в 1g7/2 состоянии. Эти состояния отличаются спинами Δj = 2 и четностью. Такой переход, согласно теории β-распада, относится к запрещенным, характеризующимися большими периодами полураспада. Оболочечная модель правильно предсказывает характер β-распада.

Есть и свойства ядер, которые не объясняются в рамках оболочечной модели. Например, она дает резко заниженные значения квадрупольных моментов. Неудачным будет попытка описать свойства возбужденных ядер, т.к. в этом случае надо отказаться от неизменности состояний при столкновении внутри ядра.

Обобщенная модель ядра

Модель рассматривает заполненную оболочку как остов, и в ее поле вращается дополнительный нуклон. Остов ядра деформируется валентным нуклоном, что приводит к появлению квадрупольного электрического момента ядра Q. Модель правильно описывает поведение квадрупольного электрического момента для разных ядер. В несферических ядрах возможно появление колебательных и вращательных уровней, и их можно рассчитать в рамках модели.

Есть и другие модели ядер. Каждую модель можно использовать лишь в ограниченных пределах.


Контрольные вопросы №3


Если есть какие-либо замечания, напишите мне.