К.А.Дергобузов

Движение частиц в прямоугольной потенциальной яме

Конспект лекции с демонстрациями

Аннотация: изучение качественной стороны решений уравнения Шредингера, выяснение отличий получаемых результатов от выводов классической механики. Традиционное изложение темы, дополненное двумя демонстрациями на компьютерных моделях.

Содержание

Одна из простейших задач о движении микрочастиц – это задача о движении в прямоугольной потенциальной яме с очень высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

U(x)U(x)

Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?

В мире микрочастиц взаимодействие протона и нейтрона в ядре тяжелого водорода приближенно описывается прямоугольным потенциалом. Этот же потенциал – чрезвычайно грубое приближение к задаче о движении электрона в атоме. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Стенки "ящика" бесконечно круты и бесконечно высоки. Частица не может покинуть такую яму.

Всю область изменения переменной x разобьем на три (см. рисунок 1). Вероятность нахождения частицы в областях x < 0 и x > a равна нулю, так что волновая функция Ψ(x) = 0. В центральной части мы положили для удобства U(x) = 0 (известно, что потенциальная энергия определена с точностью до константы). В этом случае уравнение Шредингера принимает вид

Уравнение Шредингера,

где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначение

.

Уравнение приобретает вид и имеет решение

решение.

Постоянные A, α и β мы найдем из условий непрерывности волновой функции и нормировки. На левой границе Ψ(0) = Asin(α) = 0 дает α = 0. На правой границе Ψ(a) = Asin(βa) = 0 приводит к βa = πn, где n = 1, 2, 3, ... Нулевое значение n в ряд допустимых значений не входит, т.к. иначе волновая функция везде бы обращалась в ноль. Движение частицы в потенциальной яме описывается набором волновых функций

.

Условие нормировки

.

Окончательный вид волновой функции

.

Возведем в квадрат левую и правую части равенства βa = πn, и вспомним, что значит β2. Тогда получим выражение для энергии

E=   (1).

Самым важным результатом является то, что возможны только такие состояния, для которых E принимает одно из дискретных значений. Введенное выше число n называют квантовым числом. Значения En называют уровнями энергии. Говорят, что частица находится в квантовом состоянии n, если ее движение описывается волновой функцией Ψn(x). Три первых уровня энергии, соответствующие им волновые функции Ψ(x) и квадраты волновых функций изображены на рисунке 2.

энергии и волновые функции

Состояние с минимальной энергией (n = 1) называют основным, остальные - возбужденными. Обратите внимание на то, что энергия основного состояния не равна нулю. Про микрочастицы можно сказать – "покой им только снится". Это – общий результат квантовой механики, справедливый для всех ее задач и полностью чуждый классической механике.

Распределение плотности вероятности по координате |Ψ(x)|2 неоднородно и зависит от n. Чем больше n, тем сильнее неоднородность. С классической точки зрения на частицу в яме не действуют никакие силы, и она с равной вероятностью может находиться в любой точке.

Расстояние между соседними уровнями энергии

dE.

Чем меньше масса частицы и ширина области движения, больше ΔE. Для электрона (масса порядка 10-30 кг) в атоме (размер порядка 10-10 м) получим ΔE ~ 10 эВ, а для молекулы (масса ~ 10-27 кг) в сосуде (размер порядка 10-1 м) – ΔE ~ 10-20 эВ. В последнем случае (ширина ямы макроскопических масштабов) энергию молекулы можно считать непрерывно изменяющейся величиной.

Найдем еще относительное расстояние между уровнями

dE/E.

При больших значениях квантового числа (большие возбуждения) дискретность состояний перестает проявляться. Фактически наблюдаем переход к непрерывному изменению энергии.

Посмотрим на иллюстрации движения частиц. Они выполнены в виде апплета, который будет работать в отдельном окне. Положение подвижной стрелки задает энергию частицы Е. Плавно передвиньте ее в верхнее положение. Если текущее значение Е разрешено законами физики, то строится график зависимости плотности вероятности P нахождения частицы от ее координаты. Слева графики строятся по формулам, полученным выше в результате решения уравнения Шредингера. Справа – предсказания классической физики. Одновременно наблюдайте за иллюстрацией одномерного движения частицы в нижней части окна. (Беру, как говорится, "грех на душу", изображая движение микрочастиц. Для них не применимо понятие траектории. Но об этом в следующих лекциях.) Если щелкнуть мышкой по ссылке, апплет придет в рабочее состояние (Вы двигаете стрелку и наблюдаете).

После прочитанного и увиденного рассортируйте 6 утверждений, приведенных ниже, по двум столбцам. Для этого щелкайте по нужной стрелке.

Квантовая физикаКлассическая физика
  
  
  
  
  
  

Движение частиц в потенциальной яме конечной глубины

Посмотрим, что изменится, если потенциальная яма будет иметь конечную глубину

dE/E.

U0(x)Появляется возможность рассматривать две задачи: энергия E < U0, что соответствует связанному состоянию, и E > U0 – задача о рассеянии частиц. Займемся первой, оставив вторую для последующих лекций. Теперь нет оснований полагать, что волновая функция равна нулю в первой и третьей областях. Посмотрим, как будет выглядеть уравнение Шредингера для этих областей

уравнения 1, 3.

Во втором слагаемом коэффициент перед Ψ отрицателен. Обозначим его

к2.

Уравнения Шредингера вне и внутри ямы отличаются знаком перед Ψ

уравнения

и имеют решения

решения 1,3 и 2.

Надо сразу положить A1 = B3 =0, чтобы решения не увеличивались беспредельно в области больших отрицательных и больших положительных значениях x. Для нахождения остальных коэффициентов надо использовать условия непрерывности волновой функции Ψ и ее первой производной dΨ/dx в точках x = 0 и x = a. Здесь мы ограничимся обсуждением качественно новых результатов. Решения вне ямы – апериодические, быстро спадающие. Например, в области 3

решения 1,3.

решения на границе

Отличие от нуля волновой функции Ψ(x) (а, следовательно, и |Ψ|2)в первой и третьей областях – это новый результат, которого нельзя было ожидать на основе классической теории. Напомним, что на рисунке 4 в области x > a энергия E < U0. По классическим представлениям кинетическая энергия T = E - U0 отрицательна! На длине

длина

волновая функция в "классически запрещенной" области убывает в e раз. Поскольку в числителе стоит постоянная Планка h ~ 10-34 Дж·с, ожидать заметного эффекта для тел с макроскопической массой m или энергией U0 - E не приходится (при этом l → 0).

Возможные значения энергии, как и для ямы бесконечной глубины, квантованы. И полученная нами формула (1) остается хорошей аппроксимацией, особенно для больших U0 - E. Для получения точного значения необходимо решить численно трансцендентное уравнение. Отметим только, что число уровней в яме зависит от ее ширины и глубины. И может статься, в яме не окажется ни одного уровня. Это означает, что связанного состояния при данных параметрах не существует. Для дейтрона (U0 ~ 30 МэВ, a ~ 10-15 м) существует только одно связанное состояние с энергией -2.2 МэВ.

Компьютерная модель поможет Вам в исследовании движения микрочастицы (электрона) в потенциальной яме конечной глубины. Ее возможности: после того, как Вы зададите ширину (в нм) и глубину (в эВ) ямы, компьютер проведет необходимые расчеты и будет готов показать разрешенные значения энергии и соответствующие им распределения плотности вероятности нахождения частицы по ширине ямы. При неудачной комбинации параметров (слишком высока плотность уровней, их отсутствие...) компьютер выдаст предупреждение. После ввода параметров двигайте указатель вдоль оси энергий (мышкой или клавишами со стрелками) и наблюдайте.

Определите:

Подведем итоги:

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.