Рассеяние частиц. Эффект Рамзауэра

Конспект лекции с демонстрацией

Аннотация: изучение качественной стороны решений уравнения Шредингера, выяснение отличий получаемых результатов от выводов классической механики. Традиционное изложение темы, дополненное демонстрацией на компьютерной модели.

Содержание

Рассмотрим одномерное движение. Мы увидим, что даже в этом простейшем случае проявляются принципиальные отличия движения микрочастиц от классического. При одномерном движении рассеяние означает изменение направления движения на противоположное. Пусть на пути частиц есть граница двух сред, в каждой из которых потенциальная энергия частицы постоянна, но эти потенциальные энергии различаются на конечную величину. Мы предположим, что на границе потенциальная энергия меняется скачком (рис.1). В реально встречающихся условиях переход, конечно, плавный. Выберем систему координат так, чтобы ось x была параллельна направлению движения частицы. Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулами

U(x).
график U(x)
Рис. 1. Конфигурация потенциальной энергии.

Какие примеры движения в окружающем мире хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?

Начнем рассмотрение с конфигурации 1) (потенциальная энергия на границе резко возрастает). Всю область изменения переменной x разобьем на две (см. рисунок). В левой части мы положили для удобства U(x) = 0 (известно, что потенциальная энергия определена с точностью до константы). Поскольку при заданных условиях потенциальная энергия U не может быть записана в виде аналитической функции, мы напишем уравнение Шредингера отдельно для области (I) и для области (II) и найдем решения в обоих случаях, т.е. функции Ψ1 и Ψ2. На границе при x = 0 в силу непрерывности волновой функции и ее производной приравняем Ψ1 и Ψ2 и их первые производные. Это позволит найти необходимые коэффициенты.

Итак, пишем уравнения Шредингера:

для области (I)

Уравнение Шредингера 1,

для области (II)

Уравнение Шредингера 2,

где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначения

.

Уравнения приобретают вид

Уравнения.

Общие решения уравнений (1) таковы:

общие решения.

Это бегущие плоские волны, но с разными длинами волн

Длины волн.

Постоянные a1, a2, b1, и b2, можно найти из условий непрерывности (волновой функции и ее производной) и нормировки.

Рассмотрим два случая: а) когда полная энергия частицы E больше ее потенциальной энергии U0 в области II и б) когда E < U0.

а) При E > U0 классическая частица обязательно перейдет из области I в область II. Посмотрим, справедливо ли это для микрочастиц, подчиняющихся уравнению Шредингера. Качественные соображения подсказывают, что не справедливо. Поскольку решения - плоские волны, а на границе происходит резкое изменение потенциала, следует ожидать частичного отражения, как для световой волны на границе сред с разными показателями преломления. Найдем коэффициент отражения.

Заметим, что eik1x описывает волну, движущуюся в направлении x (слева направо), т.е. падающую. Выражение e-ik1x соответствует отраженной волне. Квадраты амплитуд a1 и b1 есть интенсивности падающей и отраженной волн, соответственно. В области II распространяется только проходящая волна (отражаться там не от чего). Поэтому следует положить b2 = 0 и

решение в области II.

Коэффициент отражения R есть отношение

коэффициент отражения

где v - скорость частицы. Она одинакова для всех частиц в области I.

Непрерывность функции Ψ на границе обеих областей дает

уравнение для коэффициентов 1.

Непрерывность производной приводит к

уравнение для коэффициентов 2.

Исключим из уравнений (2) и (3) a2 и найдем отношение b1/a1 (проделайте сами)

b1/a1.

Теперь мы можем определить коэффициенты отражения R и прозрачности D

b1/a1.

Коэффициенты R и D с корпускулярной точки зрения следует истолковать, как вероятность частице испытать отражение на границе и вероятность пройти в область II, соответственно. Поэтому мы и использовали равенство R + D = 1: частица либо преодолеет барьер либо отразится, третьего не дано.

Вспомним значения коэффициентов k1 и k2 и подставим их в (5)

R и D.

Таблица 1 дает представление, насколько велик может быть коэффициент отражения.
Таблица 1
U0/E 0.1 0.5 0.8 0.9 1.0
R 0.0007 0.0296 0.1459 0.2700 1.000

На практике в опытах с электронами потенциал возрастает от 0 до U0 не скачком, как на рисунке 1, а на отрезке макроскопической длины, и эффект не заметен. Однако, если ширина переходной области имеет порядок атомных размеров (10-10 - 10-9 м) эффект необходимо учитывать. Пример явления, в котором он проявляется, рассмотрим чуть позднее.

б) При E < U0 для классической частицы переход из области I в область II не возможен.

Решение уравнения Шредингера для этого случая снова приводит к формуле (4), но коэффициент k2 теперь чисто мнимый. В формуле (5) числитель и знаменатель будут комплексно сопряженными величинами. Значит R = 1, происходит полное отражение частиц. Отличие от классического решения в том, что в области II волновая функция не равна нулю (она экспоненциально затухает при удалении от границы x = 0). Ситуация с барьером конечной ширины разобрана в следующей лекции.

Вернемся к случаю а) (E > U0). Сравним решения для конфигураций 1) и 2) (рис.1). Все формулы (2) - (6) для второй конфигурации остаются в силе, только значения коэффициентов k1 и k2 в (1) надо поменять местами. Это не скажется на величинах коэффициентов отражения и прохождения (6). Но одно отличие все-таки есть. В конфигурации 1) k1 > k2 и отношение амплитуд отраженной и падающей волн (5) положительно, т.е. знаки их совпадают. В конфигурации 2) k1 < k2 и b1/a1 < 0. Вспомним, что -1 = e.

Следовательно, разные знаки амплитуд падающей и отраженной волн говорят о том, что фаза отраженной волны сдвинута на π относительно падающей. Если же потенциал на границе скачком возрастает, сдвиг фазы равен нулю. На практике это может привести к гашению отраженной волны при определенных условиях.
установка Рамзауэра
Рис.2 Установка Рамзауэра.

В 1921 году, исследуя прохождение электронного потока очень медленных (с энергией от 0,75 до 1,1 эВ) электронов в различных газах, К. Рамзауэр обнаружил, что в аргоне при уменьшении энергии электронов упругое рассеяние уменьшается, в результате чего электроны проходят через газ практически беспрепятственно. Это явление, когда атомы инертного газа становятся как бы несуществующими для электронов, обладающих определенной энергией, и электроны пролетают сквозь них без столкновений, носит название эффекта Рамзауэра - Таунсенда.

Схема установки К.Рамзауэра показана на рисунке справа. Установка очень мала по размеру и откачана до малого давления, так что длина свободного пробега электрона много больше размеров аппарата. Камера в левом нижнем углу наполняется аргоном через капилляр, давление аргона контролируется. Источником электронов является фотокатод K, освещаемый извне. Подбирая длину световой волны, можно получить электроны очень малой энергии. Электроны ускоряются разностью потенциалов между фотокатодом и первой щелью. Корпус аппарата заземлен, потенциал катода отрицательный.

Чтобы задать энергию электронов точнее, использовано магнитное поле. Аппарат помещен в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости чертежа. Электрон со скоростью v в однородном магнитном поле B движется по окружности, радиус которой найдется из соотношения

.

Электрон с энергией 1 эВ имеет скорость 5.9·105 м/с, поэтому при (BR) = 3.372·10-6 Тл·м диаметр окружности около 6.7 см для индукции 10-4 Тл. Для электронов с энергией 100 эВ нужно поле с B = 10-3 Тл. Это все разумные цифры. Близкий к моноэнергетическому поток электронов попадает в камеру рассеяния. Электроны, рассеянные на длине примерно в четверть окружности, собираются на ее стенках. Ток их Is измеряется гальванометром. Нерассеянные электроны попадают в камеру - коллектор, ток их Ic также измеряется. Сумма токов есть ток первичного пучка. Коэффициент ослабления μ = (1/L)ln[(Is + Ic)/Ic], где L - длина дуги. Тогда длина свободного пробега электрона равна 1/μ. Зная плотность аргона, можно определить полное сечение рассеяния.
сечения
Рис.3 Зависимость эффективных сечений рассеяния от скорости электрона.

Рамзауэр был изумлен результатами. При наименьших изучаемых им энергиях электронов сечение было мало, а при 0.7 эВ рассеяние почти совсем исчезало! Затем сечение росло в аргоне до максимального 25 (в единицах π·a02 = 0.88·10-20 м2, a0 - боровский радиус) около 12 эВ, далее медленно убывало по мере роста энергии. Для всех инертных газов получались подобные результаты. Изучение дифференциальных сечений обнаружило сильную зависимость от угла рассеяния с пиками и провалами. Эффект Рамзауэра казался загадкой. Этот экспериментальный результат, совершенно не совместимый с представлениями классической физики, находит свое объяснение при учете волновой природы электрона.
U(x)
Рис.4 Распределение потенциала U(x) в области атома-мишени диаметром 2а (одномерная модель)

Взаимодействие электронов с атомами инертных газов, имеющими замкнутые сферически симметричные электронные оболочки и компактную структуру, можно описать с помощью модели прямоугольной потенциальной ямы (рис.4). При движении слева направо частицы дважды частично отражаются на границах ямы x = -a и x = a. При первом отражении имеем сдвиг фазы на π, при втором - 0. Левее границы x = -a две отраженные волны складываются. Разность хода этих волн Δ равна удвоенной ширине потенциальной ямы. Внутри ямы длина волны равна

Длина волны.

Если при некоторой энергии электрона E окажется, что Δ= 4a = λ, то отраженная от правой границы ямы x = a волна сложится с волной от первого отражения в противофазе (из-за сдвига фазы при первом отражении). Отраженные волны погасят друг друга. Этим объясняется эффект Рамзауэра - Таунсенда.
S(E)
Рис.5 Сечение рассеяния нейтронов на тяжелых ядрах.

В 1953 году эффект Рамзауэра лег в основу модели (J. D. Lawson), описывающей энергетическую зависимость сечения рассеяния быстрых (энергии до 500 МэВ) нейтронов на ядрах. (Размер ядра имеет порядок 10-14 м, сравнимые длины волны де Бройля нейтроны имеют при энергиях в сотни МэВ; для 100 МэВ λ около 3·10-14 м). Модель в настоящее время позволяет найти сечения рассеяния нейтронов в широком диапазоне энергий от 20 до 550 МэВ, используя крайне ограниченное количество параметров. На рисунке справа сплошными красными линиями изображены вычисленные в рамках модели Рамзауэра зависимости сечений рассеяния нейтронов на различных ядрах от энергии нейтронов, черным цветом отмечены экспериментальные точки ( R. S. Gowda, S. S. V. Suryanarayana, S. Ganesan. The Ramsauer model for the total cross sections of neutron nucleus scattering. arXiv:nucl-th/0506004 v1 2 Jun 2005).

Еще раз подчеркнем, что свойство частиц отражаться от областей с резким скачком потенциала является чисто квантовомеханическим эффектом. Оно вытекает из волновых свойств материи и не может быть объяснено в классической физике.

В Вашем распоряжении модель, которая иллюстрирует квантово-механическое рассеяние на одномерной прямоугольной потенциальной яме.

Подведем итоги:

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.