Соотношение неопределенности, волновая функция, излучение и поглощение энергии

Конспект лекции

Аннотация: знакомство с границами применимости классической физики, уравнением Шредингера. Традиционное изложение темы.

Содержание

 

В первой четверти XX-го века получены экспериментальные свидетельства двойственности свойств материи: электромагнитное излучение проявляет свойства частиц (фотоэффект, комптоновское рассеяние, ...), а частицы демонстрируют волновые свойства (эффект Рамзауэра, туннельный эффект, ...).

Но свойства волн и частиц в известной степени противоположны.
Частицы Волны
Энергия и импульс локализованы Переносят энергию, распределенную по фронту волны
Сложение по правилу: частицы + частицы => больше частиц Интерференция лучей: больше в одном месте и меньше в другом
Отбрасывают резкую тень Огибают препятствия
При наличии щелей частица проходит через одну из них Проходят через любое число отверстий

Нет подходящих образов, чтобы представить существование волновых и корпускулярных свойств у одного объекта. Нельзя все свойства волн и все свойства частиц приписать одному объекту. Необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической физики. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным, в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом). В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности, названный теперь его именем. Он может быть записан в следующем виде

соотношение неопределенностей.

Здесь Δx - неопределенность координаты x, Δp - неопределенность импульса, ħ - постоянная Планка, деленная на 2π (h = 6.62·10-34 Дж·с). Выражение (1) следует понимать так, что если мы точно задаем координату частицы (Δx → 0), то ничего не можем сказать о величине импульса (Δp → ∞). Одновременно точно задать координату и импульс микрочастицы невозможно. Для иллюстрации рассмотрим опыт по дифракции электронов на щели. Прямой опыт Йенсона (см. лекцию) показал, что за щелью распределение интенсивности электронов будет иметь вид, показанный на рис.1.
дифракция электронов
Рис. 1. Дифракция электронов на щели.

Отклонение электрона от первоначального направления означает получение им приращения импульса Δp. Ширина щели служит мерой неопределенности положения электрона (электрон проник в щель, в какой точке щели это произошло, неизвестно). Из опыта известно, что при уменьшении ширины щели дифракционная картина уширяется. Т.е., если Δx уменьшается, Δp растет, как это предсказывает соотношение (1).

Другая важная пара связанных физических величин – энергия Е и время t. Соотношение неопределённостей для них имеет вид

соотношение неопределенностей.

Это соотношение означает, например, что если атом в возбужденном состоянии живет время Δt, то энергия этого состояния определена с точностьюΔE.

Принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из величин, входящих в соотношение. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. Неравенства (1) и (2) представляют собой ограничения применимости понятий классической механики.

Оценим количественную сторону ограничений на трех примерах.

  1. Молекула в стакане.

    Массы молекул имеют порядок 10-27 кг. Пусть стакан имеет размер ~ 10-1 м. Эту величину возьмем в качестве неопределенности координаты Δx. Тогда для неопределенности скорости получим

    .

    Чрезвычайно малое значение Δv в сравнение со скоростью молекул (при комнатной температуре порядка 500 м/с) приводит к выводу об отсутствии ограничений на классическое рассмотрение движения молекул в этом случае.

  2. Электрон в атоме.

    Масса электрона ~10-30 кг, размер атома ~10-10 м. Для неопределенности скорости получим

    .

    И поскольку эта величина Δv сравнима со скоростью электронов в атоме, соотношение неопределенностей играет решающую роль, игнорировать волновые свойства электрона никак нельзя.

  3. Луч осциллографа.

    Скажутся ли волновые свойства электрона на работе осциллографа? Пусть радиус луча на экране очень качественного осциллографа равен r = 10 мкм, длина трубки L ~ 10-1 м. Тогда относительное изменение импульса Δp/p = r/L = 10-4. Импульс электрона определим, задав напряжение на трубке U, равным 10 кВ

    .

    Неопределенность импульса тогдаΔp ~ 6·10-27, а неопределенность координаты

    что существенно меньше размера пятна на экране. Т.е. пользоваться осциллографом можно, не задумываясь о волновых свойствах электронов.

Приведем один пример использования соотношения неопределенностей для оценки физических величин. Исходим из того, что неопределенность, например, импульса - это минимальное значение импульса, которое что-то значит.

Покажем, что в существующих ядрах не могут находиться электроны. За неопределенность координаты возьмем радиус ядра r, тогда

Размеры ядер имеют порядок 10-14 м, электрон с таким импульсом - ультрарелятивистский, его энергия много больше энергии покоя, и последней можно пренебречь в оценках. Имеем E = p·c (как для фотонов). Для того чтобы электрон находился в ядре, его кинетическая энергия должна быть меньше потенциальной энергии (энергии взаимодействия с заряженным шаром, которым представляем ядро). Получаем

Ядер с таким большим атомным номером не существует. Точное решение задачи с нахождением волновой функции показывает отсутствие связанного состояния для электрона в потенциальной яме, которой представляется ядро.

Волновая функция

Наличие волновых свойств у микрочастицы показывает, что ей (микрочастице) следует сопоставить некоторое волновое поле (аналог знакомых нам электрического, магнитного, гравитационного полей). Амплитуду этого волнового поля, зависящую от координат и времени, принято называть волновой функцией . Физическое толкование (М.Борн, 1926 г.):

величина пропорциональна вероятности того, что микрочастица в момент времени t будет обнаружена в объеме dV вокруг точки с координатами x, y, z.

Вспомним опыт с пропусканием электронов через щель. Куда попадет данный конкретный электрон - дело случая. После пропускания малого числа электронов картина похожа на мишень плохого стрелка. Поведение электрона должно описываться некоторой вероятностной функцией. И эта функция должна быть связана со свойствами волнового поля, т.к. итог большого числа попаданий электронов - вполне четкая картина дифракционных полос. Совместить случайный характер попадания электрона в данное место с его волновыми свойствами можно, лишь допустив, что вероятность попадания электрона в данную точку пропорциональна интенсивности волнового поля, т.е. квадрату амплитуды |Ψ|2. |Ψ|2 имеет смысл плотности вероятности. С помощью волновой функции можно рассчитать все измеряемые физические характеристики системы частиц. Например, среднее расстояние электрона от ядра

Уравнение Шредингера

Биография Э.Шредингера

Уравнение, решением которого является волновая функция, получено австрийским физиком Э.Шредингером

Это уравнение применимо только для нерелятивистских частиц, у которых масса не зависит от скорости.

Для многих задач уравнение Шредингера можно упростить, исключив зависимость от времени. Это так называемые стационарные задачи. Пусть потенциальная энергия зависит только от координат U = U(x,y,z). Будем искать решение в виде произведения двух функций, зависящих одна от координат, а другая от времени: Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z)·φ(t). Поставим это выражение в уравнение и вынесем из-под знаков дифференцирования сомножители, не зависящие от соответствующих переменных

Разделим получившееся уравнение на ψ(x,y,z)·φ(t). Теперь левая часть зависит только от координат, а правая от времени. Поскольку обе части равны между собой, то остается единственная возможность: каждая из них равна одной и той же константе. Обозначим эту константу -E (E, как будет видно, - полная энергия частицы).

Теперь имеем два уравнения: первое для функции ψ(x,y,z)

Это так называемое стационарное уравнение Шредингера. Второе, которое легко решается, для временной части

Итак, для стационарного случая имеем два дифференциальных уравнения. Многочисленные эксперименты подтверждают выводы, вытекающие из решения уравнения Шредингера. На этом основана наша уверенность в справедливости этого уравнения.

В 1933г. Эрвину Шредингеру присуждена Нобелевская премия:

1933
ERWIN SCHRODINGER for the discovery of new productive forms of atomic theory.

(за открытие новых продуктивных форм атомной теории)


Решение уравнения Шредингера для свободной частицы

Для понимания природы явлений в микромире обычно достаточно решить одномерную задачу. Этим мы и займемся. Для свободной частицы U(x) = 0, и уравнение Шредингера имеет вид

.

Имеем дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение, используя характеристическое уравнение, получаем в виде

.

Теперь добавим множитель φ(t), зависящий от времени (см. выше)

.

Если учесть, что E/ħ = ω, получили уравнение волны с фазой kx-ωt в первом слагаемом и -kx-ωt во втором. Если фазу зафиксировать, то точка с постоянной фазой движется в направлении x для первого слагаемого (x растет с увеличением t), и в противоположном для второго. Первое слагаемое описывает движение частицы в направлении x, второе - против x.

Выражение (4) однозначно, конечно и имеет смысл при любых значениях энергии E. Энергия свободной частицы может принимать любое значение, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Этой волне соответствует не зависящая от времени вероятность обнаружить частицу в данной точке пространства. Действительно, выбирая для простоты волну, распространяющуюся в положительном направлении x, имеем |Ψ|2 = Ψ·Ψ* = |A|2.

И напоследок получим соотношение между импульсом p и энергией E свободной частицы. Вспоминая выражение для длины волны де Бройля, для волнового числа k получим

.

Возведя это выражение в квадрат и приравняв к равенству для k2 (3), получим

что совпадает с классическим соотношением.

В других лекциях рассмотрены движение частицы в прямоугольной потенциальной яме, рассеяние частиц.

Тождественность частиц. Бозоны и фермионы. Принцип Паули.

Проделаем опыт по изучению углового распределения упруго рассеянных α-частиц на ядрах углерода 12C: α + 12C → α + 12C.
рассеяние <b>α</b>
Рис. 2. Рассеяние α-частиц на ядрах углерода.
На рисунке 2а изображен в системе центра инерции результат взаимодействия, которое привело к рассеянию α-частицы на угол θ и попаданию в детектор 1. Ядро углерода регистрируется в детекторе 2. Пусть Ψ(θ) - волновая функция, описывающая этот процесс.

Но может быть (рисунок 2б) α-частица рассеялась на угол π - θ и попадает в детектор 2. Этот процесс описывается функцией Ψ(π - θ). Детекторы 1 и 2 включены в схему совпадений, и событие считается зарегистрированным, когда в каждый детектор попадет по частице.

Можно ли сделать детектор, различающий α-частицы и ядра углерода? Отвечаем "да", и случаи 1а и 1б различны. Измеряемая величина - доля частиц, рассеянных на данный угол. В случае а) она пропорциональна |Ψ(θ)|2, а в случае б) - |Ψ(π - θ)|2. А если детектор не различает частицы (например, счетчик Гейгера), тогда вероятность опыта пропорциональна

Состояния в принципе различны и складываются вероятности.

А при рассеянии α-частиц на ядрах гелия: α + 4He → α + 4He (α-частица - это и есть ядро гелия!)? Тут взаимодействуют тождественные частицы, и экспериментальные результаты не согласуются с формулой (5). Полная неразличимость частиц приводит к интерференции рассеянных волн. В этом случае складываются амплитуды

Если подсчитать по этим формулам вероятности для угла θ = π/2, то вероятности 2|Ψ(π/2)|2 и |2·Ψ(π/2)|2 = 4·|·Ψ(π/2)|2 отличаются в два раза. Ошибиться тут нельзя. Опыт согласуется со вторым значением: для неразличимых частиц складываются амплитуды.

А как обстоит дело с электронами? Электроны в отличие от α-частиц имеют спин (собственный момент количества движения), который может иметь два направления. Если спины взаимодействующих электронов направлены одинаково, то это тождественные частицы, но ни (5), ни (6) неверно. Для них складываются амплитуды в противофазе:

Если спины электронов имеют противоположные направления, детектором можно определить, какой электрон попал в детектор, и складываются вероятности (5).

Приходим к выводу: тождественность микрочастиц существенна при описании взаимодействия этих частиц.

Электроны тождественны, и перестановка двух любых экспериментально обнаружена быть не может: возможны переходы, ведущие к неразличимым экспериментально состояниям.
макрофизикафизика микрочастиц
можно пронумеровать частицы, наблюдать за движением определеннойпонятие траектории не имеет смысла, теряет смысл и различие частиц.

Обозначим волновую функцию, описывающую состояние двух частиц, через Ψ(x1,x2). Здесь x1 - координата первой частицы, x2 - второй. Подействуем на эту функцию оператором перестановки двух частиц местами

Но начальное и конечное состояния ввиду тождественности частиц неразличимы, и поэтому волновые функции могут отличаться только постоянным сомножителем.

Подействуем этим оператором еще раз и вернемся к исходной волновой функции

Получаем a = ± 1. Волновые функции либо меняют знак при перестановке частиц либо нет

Спины бозонов кратны ħ: 0, ħ, ,...

Спины фермионов полуцелые: 1/2ħ, 3/2ħ,...

Для фермионов действует принцип Паули: в одном и том же квантовом состоянии не может быть одновременно более одного фермиона, например, электрона. Это утверждение впервые было сформулировано Вольфгангом Паули в 1925 г. Полное обобщённое доказательство этого принципа было им сделано в 1940 г. в рамках квантовой теории поля. Определенное квантовое состояние задается набором квантовых чисел. Например, для атома водорода это четыре числа.


Биография В.Паули

В 1945г. Вольфгангу Паули присуждена Нобелевская премия:

1945
WOLFGANG PAULI for the discovery of the Exclusion Principle, also called the Pauli Principle.

(за открытие принципа запрета, названного принципом Паули)


Вычисление средних значений

Если известна волновая функция Ψ(x), то можно вычислить значение физических величин, характеризующих данную задачу. Как упоминалось, |Ψ(x)|2dx - дает долю частиц, находящихся между x и x + dx. Тогда среднее значение x

Аналогично надо поступить и любых функций координаты x. Например, среднее значение потенциальной энергии U(x) равно

По-другому вычисляется средняя кинетическая энергия, которая зависит не от координаты x, а от импульса. Приведем формулу

Можно проверить последнее выражение для частного случая n = 1 в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме

что совпадает со значением полной энергии E в основном состоянии, т.к. потенциальная энергия U полагалась равной нулю.

Излучение и поглощение энергии

Чтобы выяснить, излучает ли система, содержащая заряженную частицу, надо вычислить среднее значение координаты. Если среднее значение x колеблется с частотой ν, то согласно законам электродинамики надо ожидать испускания или поглощения излучения такой частоты.

Используем волновую функцию частицы в состоянии с квантовым числом n и энергией En -

Оказывается, если частица находится в определенном энергетическом состоянии, среднее значение x не зависит от времени, и излучения нет. В 1913 году Нильс Бор для объяснения закономерности линейчатого спектра атома водорода постулировал, что атомная система может находиться только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия En. В стационарных состояниях атом не излучает. Этот постулат находился в явном противоречии с классической механикой.
уровни энергии
Рис.3. Уровни энергии.

Теперь рассмотрим систему, в которой есть два состояния с квантовыми числами n, m и соответствующими им энергиями En и Em (рис.3). Принцип суперпозиции в квантовой механике заключается в следующем: если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψn и Ψm, то она может находиться и в состоянии, описываемом волновой функцией

где a и b - произвольные коэффициенты. Наблюдая испускание излучения при возвращении в основное состояние n, можно заключить, что система была в состоянии m (т.е. a = 0, b = 1) в какой-то момент времени. Найдем среднее значение x для функции (8).

В подынтегральном выражении слагаемые с произведениями Ψ*n·Ψn и Ψ*m·Ψm приводят, как мы видели, к стационарным значениям x и не вызывают излучение или поглощение. Поэтому нас будут интересовать перекрестные произведения

Получили, что среднее положение частицы представляет собой периодическую функцию времени, умноженную на некоторое число (определенный интеграл по x). Поэтому получаются колебания заряда, и, следовательно, излучение с частотой

Таким образом, квантовая механика объясняет существование линейчатых спектров и обосновывает вторую гениальную догадку Н.Бора: испускание или поглощение фотонов происходит только с частотами, удовлетворяющими равенству hν = Em - En.

Теперь заметим, что колебаний заряда не будет, если интеграл В (9) равен нулю

Когда это бывает? В лекции о квантовом гармоническом осцилляторе выписаны волновые функции основного и первых двух возбужденных состояний. Для перехода m = 1 → n = 0 этот интеграл (опуская постоянные коэффициенты)

т.к. под интегралом четная функция. Аналогично для перехода m = 2 → n = 1

функция под интегралом четная и интеграл нулю не равен. Переходы m = 1 → n = 0 и m = 2 → n = 1 разрешены и сопровождаются излучением кванта.

Теперь проанализируем переход m = 2 → n = 0.

т.к. под интегралом нечетная функция. Такой переход запрещен. Детальный анализ волновых функций гармонического осциллятора показывает, что возможны только переходы, при которых квантовое число обязательно меняется на единицу Δn = ±1. Это так называемое правило отбора. Для водородоподобных атомов правила отбора будут свои.

Квантовая механика объясняет основные характеристики испускания и поглощения света.

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.