Механический и магнитный моменты атома

Конспект лекции с демонстрацией

Наши задачи: рассказать коротко о магнитных свойствах атома, их проявлениях в физических эффектах и применении в физических исследованиях.

 

Электрон в атоме движется. Поскольку это движение не прямолинейное, электрон обладает моментом импульса (в классической физике момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса момент импульса, где m – масса частицы, v – её скорость, r – радиус-вектор). Для микрочастиц эта формула неприменима, так как радиус и скорость нельзя определить одновременно (см. соотношение неопределенности).

В начале прошлого века при создании модели атома Н.Бор допустил, что стационарными состояниями атома являются только такие, в которых момент импульса равен целому кратному постоянной Планка h, деленной на 2π. Это позволило Н.Бору рассчитать наблюдаемые линии спектра водорода.

Момент импульса, обусловленный перемещением в пространстве, называют орбитальным. Согласно квантовой теории модуль вектора орбитального момента равен

орбитальный момент импульса

где l - орбитальное квантовое число, принимающее значения 0, 1, 2,... Таким образом, момент импульса электрона L, как и энергия, квантуется, т.е. принимает дискретные значения. Из квантовой теории следует еще один важный вывод: проекция момента импульса электрона на какое-либо заданноеорбитальный момент импульса направление в пространстве z (например, на направление силовых линий магнитного или электрического поля) также квантуется по правилу:

проекция момента

где m - магнитное квантовое число, принимающее значения -l, -l+1, ..., l (всего 2l+1 значений).

Электрон, движущийся вокруг ядра, представляет собой элементарный круговой электрический ток. Согласно классической теории электромагнитных явлений, замкнутый ток является источником магнетизма. Из опыта следует, что магнитное действие замкнутого тока (контура с током) определено, если известно произведение силы тока i на площадь контура S. Это произведение носит название МАГНИТНОГО МОМЕНТА. Обозначим его μ. μ = iS. Найдем связь магнитного момента с моментом импульса L. В качестве примера рассмотрим движение частицы с массой m и зарядом q по окружности радиуса r с частотой ν.

mu

Для микрочастиц квантовая теория приводит к такой же связи орбитального механического и магнитного моментов электрона. Теперь q = e (e<0!) - заряд электрона, m - его масса).

mu_L

Опытные данные (тонкое расщепление спектральных линий, результаты опыта Штерна и Герлаха - об этом позднее скажем) говорили о том, что электрон в состоянии 1s (орбитальное квантовое число l = 0, и, следовательно, L = 0) имеет ненулевой момент импульса S, не связанный с перемещением частицы как целого. Этот момент импульса назвали спиновым (спин, английское spin, вращение). При введении понятия "Спин" предполагалось, что электрон можно рассматривать как "вращающийся волчок", а его Спин - как характеристику такого вращения. Для модуля спинового момента и его проекции справедливы выражения

спин

Спиновое квантовое число для электрона s = 1/2 (то же значение для протона, нейтрона и еще ряда частиц). Квантовое число проекции момент импульса. Т.е. проекций только две.

Спиновому моменту импульса пропорционален спиновый магнитный момент μs

mu_s

Обратите внимание, что в знаменателе нет 2 (сравните с выражением для орбитального момента).

Правило сложения моментов

Если частица участвует в нескольких движениях, надо уметь складывать моменты импульсов. Пусть

m1+m2

Тогда квантовое число суммарного момента может принимать значения (их несколько!) от суммы квантовых чисел слагаемых до модуля разности

m1+m2

Это и есть правило сложения моментов. Для электрона в атоме полный момент импульса J складывается из орбитального и спинового моментов, и по этому правилу квантовое число полного момента имеет два значения:

J=L+S


 

 Опыт Штерна и Герлаха.
Рис.1 Опыт Штерна и Герлаха с атомным пучком.
 
Откуда эта уверенность в квантовании момента импульса и магнитного момента? В 1922 году немецкие физики Штерн и Герлах провели эксперимент, который продемонстрировал, что вектор магнитного момента атома, помещенного во внешнее магнитное поле, может иметь только одно из ряда возможных дискретных направлений. Схема опыта изображена на рисунке 1. Некоторое количество атомов серебра, испаренных в печи, пропускается через узкую щель и проходит вдоль ножевидного магнита (очень близко к нему). Атомы серебра нейтральны. В однородном магнитном поле никакого отклонения атомов наблюдать нельзя. У атома серебра ( I группа таблицы Менделеева ) на внешней оболочке 1 электрон. Моменты импульса и магнитные моменты внутренних электронов компенсируют друг друга, состояние внешнего электрона 5s, т.е. орбитальный момент равен нулю. В итоге момент импульса и магнитный момент атома равны таковым значениям электрона. В неоднородном магнитном поле атом отклоняется силой

Fz

 результат Штерна Герлаха
Рис.3 Результат опыта Штерна и Герлаха
 
В установке магнитные полюсы указанной формы создают большой градиент индукции магнитного поля. Это позволяет
 результат Штерна Герлаха
Рис.2
 
разделить атомы с разными проекциями магнитного момента μz. Если бы все ориентации магнитного момента были равно вероятными (рис. 2), значения проекций на ось менялись бы непрерывно от нуля до максимальной, пятно на экране, которое оставляют атомы серебра при выключенном электромагните, при включении поля просто растянулось бы вдоль оси z. Экспериментаторы же увидели, что поток атомов разделился на два! (рис. 3b) Это сейчас мы знаем о наличии спина у электрона и спиновом квантовом числе s = 1/2, допускающем только два значения проекции. А во время проведения эксперимента ничего этого известно не было. Понятие спина введено Гаудсмитом и Джорджем Уленбеком в 1925 году: они предложили рассматривать электрон как "вращающийся волчок", обладающий собственным механическим моментом и собственным магнитным моментом. Лоренц произвел ряд вычислений электромагнитных свойств вращающегося электрона и продемонстрировал нелепость выводов, к которым приводит эта гипотеза (скорость на поверхности электрона должна превышать скорость света). Авторы пытались отозвать свою статью, но опоздали, статья была опубликована. В дальнейшем показано, что классические представления неприменимы к элементарным частицам. Однако вывод о существовании собственного момента импульса (спина) у электрона и собственного магнитного поля, не связанного с движением в пространстве, полностью подтвержден.

 

Наличие спина и магнитного момента у электрона позволило объяснить наблюдаемое ранее расщепление спектральных линий. Если крупинки поваренной соли попадут в пламя газовой плиты, заметно желтое свечение: возбужденные атомы натрия переходят из состояния 3p в состояние 3s. Но, если наблюдать это излучение с хорошим спектрометром, обнаружится, что желтая линия натрия - дублет: две близкие линии с длинами волн 589.0 и 589.6 нм. И так для большинства других линий. Это явление названо "тонкой структурой" атомных спектров.

Причина раздвоения - наличие у электрона собственного магнитного момента. Покажем это. В атоме электрон движется в магнитном поле, создаваемом орбитальным движением. Движущийся со скоростью v заряд q создает магнитное поле с индукцией B

B

Здесь μ0 - константа.

Перейдем в систему координат, связанную с электроном. В этой системе электрон покоится в начале координат, ядро с зарядом q = Ze движется вокруг электрона. Умножим и разделим на массу частицы. Теперь видно, что индукция магнитного поля пропорциональна величине орбитального момента импульса L.

B

Энергия взаимодействия объекта с магнитным моментом μ с внешним магнитным полем B равна

U

Это общая формула. Например, виток обмотки с током в электродвигателе взаимодействует с магнитным полем статора. В нашем случае собственный магнитный момент электрона μs взаимодействует с магнитным полем BL, создаваемым орбитальным движением. Эту энергию надо добавить к энергии кулоновского взаимодействия электрона с ядром. Например, для атома водорода энергия атома равна

E_H

С учетом выражений (1) и (2) скалярное произведение векторов собственного магнитного момента электрона μs и индукции BL можно записать как

E_H

Из-за наличия произведения взаимодействие (3) называют спин-орбитальным. Найдем это скалярное произведение. Для этого найдем квадрат модуля полного момента (2)

(LS)

Поскольку для квантового числа J возможны два значения (2), выражение в квадратных скобках также имеет два значения

l l+1

Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению уровня энергии на два подуровня. В атоме натрия энергии состояний 3p3/2 и 3p1/2 несколько отличаются, и при переходе в 3s1/2 состояние мы наблюдаем 2 линии с близкими длинами волн.

Атом во внешнем магнитном поле. Эффект Зеемана

В далеком 1896 году голландский физик П.Зееман удалось обнаружить, что при помещении источника света в магнитное поле спектральные линии испытывают расщепление. Эффект весьма тонкий: при индукции магнитного поля 1 Тл разность длин волн составляет сотые доли нм. Различают простой и сложный эффекты Зеемана.

Zeeman

1902

HENDRIK ANTOON LORENTZ and PIETER ZEEMAN in recognition of the extraordinary service they rendered by their researches into the influence of magnetism upon radiation phenomena.

Питер Зееман - лауреат нобелевской премии по физике(1902г.). Присуждена она в знак признания выдающихся заслуг, которые оказали исследования в сфере влияния магнетизма на явления излучения.

Начнем с объяснения простого.

нормальный эффектРассмотрим атом, у которого сумма спиновых моментов электронов S равна нулю. Отличны от нуля только орбитальный момент импульса и пропорциональный ему магнитный момент. Во внешнем магнитном поле B энергия взаимодействия магнитного момента (направление оси z совпадает с вектором индукции)

l l+1

В этом выражении константа μБ = 0.927·10-23 Дж/Тл - магнетон Бора, m - масса электрона, mL = 0, ±1, ..., ±L - магнитное квантовое число, определяющее возможные значения проекций орбитального момента на заданное магнитным полем направление. Дополнительная энергия в магнитном поле имеет (2L+1) равноотстоящих значений. ΔU = μБB. Чтобы правильно отобразить возможные переходы электрона из возбужденных состояний, надо учитывать правила отбора ΔmL = 0, ±1. На рисунке видно, что уровень, соответствующий P-состоянию (L = 1) расщепляется в магнитном поле на 3 подуровня, а для D-состояния (L = 2) подуровней 5. На рисунке показаны и все переходы, разрешенные правилами отбора. Переходов 9, но, т.к. подуровни - равноотстоящие, различных частот только 3. Излучение поляризовано. Если смотреть перпендикулярно магнитному полю, то видны все 3 линии, если вдоль, то только 2 крайних.

Сложный (аномальный) эффект Зеемана

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда орбитальный L и спиновый S моменты атома отличны от нуля. Этим механическим моментам соответствуют магнитные, которые тоже складываются

J Δ

Магнитные моменты пропорциональны механическим

J Δ

Введенный коэффициент пропорциональности g называется гиромагнитным отношением (или фактором Ланге по имени физика, его предложившего). Для орбитального движения gL = 1, для спинового gS = 2. Вот это различие в значениях гиромагнитных отношениях и вызывает сложный эффект Зеемана.

vect_modelРассмотрим векторную модель атома, изображенную на рисунке справа. Поскольку заряд электрона отрицателен, вектора магнитных моментов направлены противоположно соответствующим моментам импульсов. Масштаб выбран так, чтобы длины отрезков, представляющих вектора L и μL были одинаковы. При этом условии вектор μS изобразится отрезком вдвое большей длины, чем S, т.к. gS = 2. Очевидно, вектор суммарного момента μJ не будет лежать на одной прямой с вектором полного момента импульса J. В отсутствии внешнего поля вектор J сохраняется по величине и направлению, а его составляющие L и S сохраняют только длины. Вектора L и S прецессируют вокруг неизменного вектора J. С той же угловой скоростью будут прецессировать соответствующие магнитные моменты μL, μS и их сумма μJ. Из-за большой скорости этой прецессии важна только проекция вектора магнитного момента μJ на направление вектора J - μ|| (от наличия перпендикулярной составляющей можно отвлечься). Параллельная составляющая может быть записана в виде

Δ

где гиромагнитное отношение (фактор Ланге) g

g

Поместим атом в однородное магнитное поле B. И это поле будет "слабым", меньшим BL. Тогда спин-орбитальное взаимодействие остается в силе, в магнитном поле будет ориентироваться суммарный момент μ||. К энергии атома в отсутствии поля E0 добавится энергия взаимодействия магнитного момента атома с внешним полем аномальный эффект

E=  (5)

где магнитное квантовое число принимает ряд значений mJ = J, J-1, ..., -J (всего их 2J+1). Эта формула показывает, на какие энергетические уровни расщепляется каждый уровень атома в магнитном поле. Чтобы представить, какие линии появятся в спектре излучения, надо принять во внимание правила отбора ΔmJ = 0, ±1.

МодельПоскольку в выражении для энергии присутствует множитель g, величина расщепления зависит от трех квантовых чисел S, L и J. Компьютерная модель поможет Вам оценить величину расщепления для разных состояний, ее зависимость от величины индукции магнитного поля.

На рисунке справа изображено расщепление уровней 3S1/2, 3P1/2 и 3P3/2 натрия в магнитном поле и показаны все возможные переходы. Красным цветом изображены линия 589.6 нм и ее расщепление, синим - линия 589.0 нм. Поскольку множитель g отличен по величине для разных состояний (gS = 2,   для состояний 3P1/2 и 3P3/2 его величина 2/3 и 4/3, соответственно), длины волн всех переходов различны. Видны все 10!

Исторические названия "нормальный" для простого эффекта и "аномальный" для сложного оказались неудачными, т.к. подавляюще часто встречается сложный эффект, а простой - частный случай сложного.

Эффект Зеемана применяется в спектроскопии, в устройствах квантовой электроники, в частности для измерения напряжённостей слабых магнитных полей в лабораторных условиях.

Эффект Зеемана впоследствии нашел очень полезное применение в астрономии, поскольку по расщеплению линий в спектре излучения небесных тел можно судить о напряженности их магнитных полей. Например, именно по эффекту Зеемана астрофизикам удалось установить, что пятна на Солнце являются следствием возмущения мощных магнитных полей вблизи его поверхности — солнечных магнитных бурь.

В сильных магнитных полях связь спинового и орбитального магнитных моментов разрывается, они независимо ориентируются в магнитном поле. Наблюдается расщепление на три линии как в простом эффекте Зеемана (эффект Пашена-Бака, 1912 год).

 

Электронный парамагнитный резонанс

Открыт в 1945 году Е.К. Завойским. Основой данного явления является поглощение высокочастотного электромагнитного излучения парамагнетиками, помещенными во внешнее магнитное поле, в котором происходит разделение спиновых состояний электронов. Напомним: парамагнетики - вещества, атомы (молекулы или ионы) которых обладают собственными магнитными моментами, которые под действием внешних полей ориентируются по полю и тем самым создают результирующее поле, превышающее внешнее.
 результат Штерна Герлаха
Рис.6 Расщепление значения энергии пропорционально индукции B0
 

Выше показано, что скалярное произведение (4), определяющее энергию U, принимает только дискретные значения (квантуется). Каждая ориентация механического момента соответствует состоянию с конкретной потенциальной энергией в магнитном поле, т.е. потенциальная энергия разделяется в магнитном поле на дискретные уровни (5). Разделение потенциальной энергии на уровни может быть прямо измерено при помощи электронного парамагнитного резонанса. Для этого образец, находящийся в постоянном магнитном поле, облучают высокочастотным переменным магнитным полем

Bf

силовые линии которого перпендикулярны постоянному магнитному полю B0. Если энергия кванта ν переменного поля равна разности энергий ΔE между двумя соседними энергетическими уровнями, то есть выполняются условия

Bf (6)

то наложение переменного магнитного поля вызовет переход между соседними энергетическими уровнями, при этом резко меняется ориентация магнитных моментов с той, которую они имели в постоянном магнитном поле на какую-нибудь другую. Говорят, переход индуцирован.

В состоянии термодинамического равновесия населенности нижнего (N1) и верхнего (N2) уровней определяются распределением Больцмана:

N2/N1
 сигнал ЭПР
Рис.8 Сигнал ЭПР
 
 установка ЭПР
Рис.7 Спектрометр ЭПР
 

где N2 и N1 - количество атомов, имеющих значения квантового числа ms = +1/2 и -1/2, k - постоянная Больцмана, T - абсолютная температура, ΔE - разность энергий уровней. Поскольку на нижних уровнях больше атомов, переменное поле будет чаще вызывать переходы на верхний уровень и наблюдаемый резонансный эффект проявляется в поглощении энергии электромагнитного излучения, которым облучают образец.

В спектрометре ЭПР (рис.7) образец помещен между полюсами электромагнита. От генератора Г к образцу подводится высокочастотное электромагнитное поле. Интенсивность прошедшего излучения регистрируется детектором Д. Сигнал на выходе усилителя У может выглядеть, как показано на рис.8.

Фактор Ланде gJ образца находится из уравнения (6). В случае свободного атома или иона фактор Ланде может изменяться от gL = 1, если магнетизм обусловлен только орбитальным угловым моментом, до gS = 2.0023, при учете только спина электрона. Однако, в реальности парамагнитные центры, изучаемые при помощи электронного парамагнитного резонанса не свободны. Если атом помещен в кристаллическую решетку или окружен примесной оболочкой в растворе, то на него действуют сильные электрические и магнитные поля, генерируемые окружающими атомами. Эти поля приводят к сдвигу энергии и влияют на расщепление линий электронов в магнитном поле. Таким образом, значение g-фактора изменяется. Это часто приводит к анизотропии, и тонкая структура спектра проявляется в резонансном спектре. Следовательно, величина g-фактора позволяет сделать заключение о связи электрона и химической структуре рассматриваемого образца.
 установка ЭПР
Промышленный ЭПР спектрометр
 

Сигналы ЭПР характеризуются определенной шириной линии. Объясняется это тем, что уровни энергии, на которые в магнитном поле расщепляется основной уровень, не являются бесконечно узкими линиями. Их уширение обусловлено взаимодействием не спаренных электронов с другими парамагнитными частицами (спин-спиновое взаимодействие) и решеткой (спин-решеточное взаимодействие). Условие резонанса могут реализоваться не при одном значении индукции B0, а в некотором интервале значений. Чем сильнее спин-спиновое и спин-решеточное взаимодействия, тем шире линия сигнала ЭПР.

На фотографии показано как выглядит реальный прибор, который находит применение для решения научно-практических задач в научных и клинических лабораториях, производственных и полевых условиях. Например, в физике твердого тела – исследование парамагнитных дефектов в полупроводниках и материалах квантовой электроники, в аналитической химии – идентификация и количественное определение неорганических и органических веществ, как пара- , так и диамагнитных.

 

 

Если возникли вопросы, напишите.